Algemene topologie

Vanuit Wikipedia, die vrye ensiklopedie
Spring na navigasieSpring na soek
Die sinoloog van die topoloog , 'n nuttige voorbeeld in punt-topologie. Dit is verbind, maar nie padverbind nie.

In wiskunde is algemene topologie die tak van topologie wat handel oor die basiese stel-teoretiese definisies en konstruksies wat in topologie gebruik word. Dit is die basis van die meeste ander takke van topologie, waaronder differensiële topologie , meetkundige topologie en algebraïese topologie . 'N Ander naam vir algemene topologie is punt-topologie .

Die fundamentele konsepte in puntetopologie is kontinuïteit , kompaktheid en verbondenheid :

Die terme 'naby', 'willekeurig klein' en 'ver uitmekaar' kan almal presies gemaak word deur die konsep van oop stelle te gebruik . As ons die definisie van 'oop stel' verander, verander ons wat deurlopende funksies, kompakte stelle en gekoppelde stelle is. Elke keuse van definisie vir 'oop stel' word topologie genoem . 'N Stel met 'n topologie word 'n topologiese ruimte genoem .

Metrieke ruimtes is 'n belangrike klas topologiese ruimtes waar 'n werklike, nie-negatiewe afstand, ook 'n metriek genoemkan word, gedefinieer kan word op pare punte in die stel. Om 'n metriek te hê, vereenvoudig baie bewyse, en baie van die algemeenste topologiese ruimtes is metrieke ruimtes.

Geskiedenis

Algemene topologie het uit 'n aantal gebiede ontstaan, veral die volgende:

Algemene topologie het sy huidige vorm aangeneem rondom 1940. Dit vang, kan 'n mens sê, byna alles in die aanvoeling van kontinuïteit , in 'n tegnies voldoende vorm wat op enige gebied van wiskunde toegepas kan word.

'N Topologie oor 'n stel

Laat X 'n stel wees en laat τ 'n familie van subgroepe van X wees . Dan word τ 'n topologie op X genoem as: [1] [2]

  1. Beide die leë stel en X is elemente van τ
  2. Enige vereniging van elemente van τ is 'n element van τ
  3. Enige kruising van baie elemente van τ is 'n element van τ

As τ 'n topologie op X is , word die paar ( X , τ ) 'n topologiese ruimte genoem . Die notasie X τ kan gebruik word om 'n stel X aan te dui met die spesifieke topologie τ .

Die lede van τ word oop stelle in X genoem . Daar word gesê dat ' n deelversameling van X gesluit is as die komplement in τ is (dws die komplement is oop). 'N Onderversameling van X kan oop, toe wees, beide ( geslote stel ), of nie een nie. Die leë stel en X self is altyd geslote en oop.

Basis vir 'n topologie

A basis (of basis ) B vir 'n topologiese ruimte X met topologie T is 'n versameling van oop stelle in T sodanig dat elke oop stel in T geskryf kan word as 'n unie van elemente van B . [3] [4] Ons sê dat die basis die topologie T genereer . Basisse is nuttig omdat baie eienskappe van topologieë gereduseer kan word tot stellings oor 'n basis wat die topologie genereer - en omdat baie topologieë die maklikste gedefinieer kan word in terme van 'n basis wat dit genereer.

Onderruimte en kwosiënt

Elke subset van 'n topologiese ruimte kan gegee word aan die subruimtopologie waarin die oop stelle die snypunte van die oop stelle van die groter ruimte met die subset is. Vir enige geïndekseerde groep topologiese ruimtes kan die produk die produktopologie kry , wat gegenereer word deur die omgekeerde beelde van oop stelle faktore onder die projeksietoewysings . By eindige produkte bestaan ​​die basis vir die produktopologie uit alle produkte van oop stelle. Vir oneindige produkte is daar die bykomende vereiste dat in 'n basiese oop stel die hele ruimte, maar eindelik baie, die hele ruimte is.

'N Kwosiëntruimte word soos volg gedefinieer: as X 'n topologiese ruimte is en Y 'n versameling is, en as f  : XY 'n surjektiewe funksie is , dan is die kwosiënttopologie op Y die versameling subgroepe van Y met oop inverse beelde onder f . Met ander woorde, die kwotientopologie is die beste topologie op Y waarvoor f kontinu is. 'N Algemene voorbeeld van 'n kwosiënttopologie is wanneer 'n ekwivalensieverhouding op die topologiese ruimte X gedefinieer word . Die kaartf is dan die natuurlike projeksie op die stel ekwivalensieklasse .

Voorbeelde van topologiese ruimtes

'N Gegewe stel kan baie verskillende topologieë hê. As 'n stel 'n ander topologie kry, word dit beskou as 'n ander topologiese ruimte.

Diskrete en triviale topologieë

Elke stel kan gegee word aan die diskrete topologie waarin elke deelversameling oop is. Die enigste konvergente rye of nette in hierdie topologie is dié wat uiteindelik konstant is. Elke stel kan ook die triviale topologie (ook die indiskrete topologie) genoem word, waarin slegs die leë stel en die hele ruimte oop is. Elke volgorde en netto in hierdie topologie kom saam na elke punt van die ruimte. Hierdie voorbeeld toon aan dat in die algemeen topologiese ruimtes die perke van rye nie uniek hoef te wees nie. Topologiese ruimtes moet egter dikwels Hausdorff -ruimtes wees waar grenspunte uniek is.

Kofiniet en telbare topologieë

Elke stel kan die cofinite topologie kry waarin die oop stelle die leë stel is en die stelle waarvan die aanvulling eindig is. Dit is die kleinste T 1 -topologie op enige oneindige stel.

Elke stel kan gegee word aan die topologiese topologie waarin 'n stel gedefinieer word as oop as dit leeg is of die aanvulling daarvan telbaar is. As die stel ontelbaar is, dien hierdie topologie in baie situasies as 'n teenvoorbeeld.

Topologieë oor die werklike en komplekse getalle

Daar is baie maniere om 'n topologie op R , die stel reële getalle, te definieer . Die standaard topologie op R word gegenereer deur die oop intervalle . Die stel van alle oop intervalle vorm 'n basis of basis vir die topologie, wat beteken dat elke oop stel 'n vereniging is van 'n versameling stelle van die basis. In die besonder beteken dit dat 'n stel oop is as daar 'n oop interval van 'n nie -nul radius bestaan ​​oor elke punt in die stel. Meer algemeen kan die Euclidiese ruimtes R n 'n topologie gegee word. In die gewone topologie op R n is die basiese oop stelle die oop balle . Net so, C , die stel vankomplekse getalle , en C n het 'n standaard topologie waarin die basiese oop stelle oop balle is.

Die werklike lyn kan ook gegee word aan die ondergrens -topologie . Hier is die basiese oop stelle die half oop intervalle [ a , b ). Hierdie topologie op R is streng fyner as die Euclidiese topologie hierbo gedefinieer; 'n volgorde konvergeer tot 'n punt in hierdie topologie as en slegs as dit van bo in die Euclidiese topologie konvergeer. Hierdie voorbeeld toon aan dat 'n stel baie verskillende topologieë bevat.

Die metrieke topologie

Elke metrieke ruimte kan 'n metriese topologie kry, waarin die basiese oop stelle oop balle is wat deur die metriek gedefinieer word. Dit is die standaard topologie op enige genormeerde vektorruimte . Op 'n eindige-dimensionele vektorruimte is hierdie topologie dieselfde vir alle norme.

Verdere voorbeelde

Deurlopende funksies

Kontinuïteit word uitgedruk in terme van woonbuurte : f is kontinu in 'n stadium x  ∈  X as en slegs as vir enige omgewing V van f ( x ) , daar is 'n woonbuurt U van x sodanig dat f ( U ) ⊆  V . Intuïtief beteken kontinuïteit, maak nie saak hoe 'klein' V word nie; daar is altyd 'n U wat x bevat wat binne -in kaart is en waarvan die beeld onder f bevat f ( x ). Dit is gelykstaande aan die voorwaarde dat die voorafbeeldings van die oop (geslote) stelle in Y oop (geslote) in X is . In metriese ruimtes is hierdie definisie gelykstaande aan die ε – δ-definisie wat gereeld in analise gebruik word.

'N Uiterste voorbeeld: as 'n stel X die diskrete topologie kry , funksioneer alle funksies

na enige topologiese ruimte T is deurlopend. Aan die ander kant, as X toegerus is met die indiskrete topologie en die ruimte T -stel ten minste T 0 is , dan is die konstante funksies die enigste deurlopende funksies. Omgekeerd is elke funksie waarvan die omvang ononderskeibaar is, deurlopend.

Alternatiewe definisies

Daar bestaan verskeie ekwivalente definisies vir 'n topologiese struktuur en daar is dus verskeie ekwivalente maniere om 'n deurlopende funksie te definieer.

Buurtdefinisie

Definisies wat gebaseer is op voorafbeeldings, is dikwels moeilik om direk te gebruik. Die volgende kriteria spreek kontinuïteit in terme van woonbuurte : f is kontinu in 'n stadium x  ∈  X as en slegs as vir enige omgewing V van f ( x ), daar is 'n woonbuurt U van x sodanig dat f ( U ) ⊆  V . Intuïtief beteken kontinuïteit, maak nie saak hoe 'klein' V word nie; daar is altyd 'n U wat x bevat wat binne -in kaart is .

As X en Y metrieke spasies is, is dit gelykstaande aan die buurtstelsel van oop balle wat gesentreer is by x en f ( x ) in plaas van alle buurte. Dit gee die bogenoemde δ-ε definisie van kontinuïteit terug in die konteks van metriese ruimtes. In algemene topologiese ruimtes bestaan ​​daar egter geen idee van nabyheid of afstand nie.

Let egter daarop dat as die teikenruimte Hausdorff is , dit steeds waar is dat f kontinu is by a as en slegs as die limiet van f as x nader aan a is f ( a ). Op 'n geïsoleerde punt is elke funksie deurlopend.

Rye en nette

In verskeie kontekste word die topologie van 'n ruimte gerieflik gespesifiseer in terme van limietpunte . In baie gevalle word dit bereik deur te spesifiseer wanneer 'n punt die limiet van 'n ry is , maar vir sommige spasies wat in 'n sekere sin te groot is, spesifiseer 'n mens ook wanneer 'n punt die limiet is van meer algemene stelle punte wat deur 'n gerigte geïndekseer word. stel , bekend as nette . [5] ' n Funksie is slegs deurlopend as dit perke van rye tot perke van rye neem. In die eerste geval is die behoud van perke ook voldoende; in laasgenoemde kan 'n funksie alle grense van rye behou, maar dit bly steeds deurlopend, en die behoud van nette is 'n noodsaaklike en voldoende voorwaarde.

In detail, 'n funksie f : XY is agtermekaar deurlopende as wanneer 'n ry ( x N ) in X konvergeer na 'n beperking x , die volgorde ( f ( x N )) konvergeer na f ( x ). [6] So behou opeenvolgende deurlopende funksies "opeenvolgende grense". Elke deurlopende funksie is opeenvolgend deurlopend. As X 'n eerste telbare spasie is en 'n telbare keusehou, dan geld die omgekeerde ook: enige funksie wat opeenvolgende perke behou, is deurlopend. In die besonder, as X 'n metrieke ruimte is, is opeenvolgende kontinuïteit en kontinuïteit ekwivalent. Vir spasies wat nie eers getel kan word nie, kan opeenvolgende kontinuïteit streng swakker wees as kontinuïteit. (Die ruimtes waarvoor die twee eienskappe ekwivalent is, word opeenvolgende ruimtes genoem .) Dit motiveer die oorweging van nette in plaas van rye in algemene topologiese ruimtes. Deurlopende funksies behou die perke van nette, en eintlik kenmerk hierdie eienskap deurlopende funksies.

Definisie van afsluitingsoperateur

In plaas daarvan om die oop deelgroepe van 'n topologiese ruimte te spesifiseer, kan die topologie ook bepaal word deur 'n afsluitingsoperateur (aangedui cl), wat aan elke subgroep AX die sluiting daarvan toewys , of 'n binneoperateur (aangedui int), wat toewys aan enige subset A van X sy binnekant . In hierdie terme, 'n funksie

tussen topologiese ruimtes is deurlopend in die sin hierbo, indien en slegs indien vir alle deelgroepe A van X

Dit wil sê, gegewe enige element x van X wat in die sluiting van enige subset A is , behoort f ( x ) tot die sluiting van f ( A ). Dit is gelykstaande aan die vereiste dat vir alle subgroepe A 'van X '

Verder,

is deurlopend as en slegs as

vir enige deelversameling A van X .

Eiendomme

As f : XY en g : YZ is deurlopende, dan so is die samestelling gf : XZ . As f : XY kontinue is en

Die moontlike topologieë op 'n vaste stel X is gedeeltelik georden : 'n topologie τ 1 word gesê dat dit growwer is as 'n ander topologie τ 2 (notasie: τ 1 ⊆ τ 2 ) as elke oop subset ten opsigte van τ 1 ook oop is t.o.v. τ 2 . Dan die identiteitskaart

id X : ( X , τ 2 ) → ( X , τ 1 )

is deurlopend as en slegs as τ 1 ⊆ τ 2 (sien ook vergelyking van topologieë ). Meer algemeen 'n deurlopende funksie

bly kontinu as die topologie τ Y vervang word deur 'n growwer topologie en/of τ X word vervang deur 'n fyner topologie .

Homeomorfismes

Simmetries aan die konsep van 'n deurlopende kaart is 'n oop kaart , waarvoor beelde van oop stelle oop is. Trouens, as 'n oop kaart f 'n inverse funksie het , is die inverse kontinu, en as 'n deurlopende kaart g 'n inverse het, is die inverse oop. Gegewe 'n byektiewe funksie f tussen twee topologiese ruimtes, hoef die inverse funksie f −1 nie kontinu te wees nie. 'N Byektiewe deurlopende funksie met deurlopende inverse funksie word 'n homeomorfisme genoem .

As 'n deurlopende bijeksie het as sy domein n kompakte ruimte en sy codomain is Hausdorff , dan is dit 'n Homeomorfisme.

Definieer topologieë deur middel van deurlopende funksies

Gegee 'n funksie

waar X 'n topologiese ruimte is en S 'n versameling is (sonder 'n gespesifiseerde topologie), word die finale topologie op S gedefinieer deur die oop stelle S toe te laat die subgroepe A van S waarvoor f −1 ( A ) in X oop is . As S het 'n bestaande topologie, f kontinu is met betrekking tot hierdie topologie as en slegs as die bestaande topologie is growwer as die finale topologie op S . Die finale topologie kan dus gekenmerk word as die beste topologie op S wat maakf deurlopend. As f is surjective , is hierdie topologie kerkwetlik geïdentifiseer met die kwosiënt topologie onder die ekwivalensie verband gedefinieer deur f .

Dasioneel, vir 'n funksie f van 'n versameling S na 'n topologiese ruimte, het die aanvanklike topologie op S as oop deelgroepe A van S daardie deelversamelings waarvoor f ( A ) in X oop is . As S het 'n bestaande topologie, f kontinu is met betrekking tot hierdie topologie as en slegs as die bestaande topologie is fyner as die aanvanklike topologie op S . Die aanvanklike topologie kan dus gekarakteriseer word as die grofste topologie op S wat f kontinu maak. As fis injective, is hierdie topologie kerkwetlik geïdentifiseer met die deelruimte topologie van S , beskou as 'n subset van X .

'N Topologie op 'n stel S word uniek bepaal deur die klas van alle deurlopende funksiesin al topologiese ruimtes X . Terselfdertyd kan 'n soortgelyke idee op kaarte toegepas word

Kompakte stelle

Formeel word 'n topologiese ruimte X kompak genoem as elkeen van sy oop omslae 'n eindige onderblad het . Andersins word dit nie-kompak genoem . Dit beteken eksplisiet dat dit vir elke willekeurige versameling

van oop deelgroepe van X sodat

daar is 'n eindige deelversameling J van A , sodat dit

Sommige vertakkings van wiskunde, soos algebraïese meetkunde , tipies beïnvloed deur die Franse skool van Bourbaki , gebruik die term kwasi-kompak vir die algemene begrip, en behou die term kompakte vir topologiese ruimtes wat beide Hausdorff en kwasi-kompak is . Daar word soms na 'n kompakte stel verwys as 'n compactum , meervoud compacta .

Elke geslote interval in R van eindige lengte is kompak . Meer is waar: In R n is 'n stel kompak as en slegs as dit gesluit en begrens is. (Sien Heine -Borel -stelling ).

Elke deurlopende beeld van 'n kompakte ruimte is kompak.

'N Kompakte deel van 'n Hausdorff -ruimte is gesluit.

Elke deurlopende byeksie van 'n kompakte ruimte tot 'n Hausdorff -ruimte is noodwendig 'n homeomorfisme .

Elke reeks punte in 'n kompakte metrieke ruimte het 'n konvergerende subsekwensie.

Elke kompakte eindige-dimensionele spruitstuk kan in 'n Euclidiese ruimte ingebed word R n .

Gekoppelde stelle

A topologiese ruimte X word gesê dat dit ontkoppel as dit is die unie van twee disjunkte -leeg oop stelle . Anders word gesê dat X verbind is . Daar word gesê dat ' n deelversameling van 'n topologiese ruimte verbind is as dit onder sy subruimte -topologie verbind is . Sommige skrywers sluit die leë stel (met sy unieke topologie) as 'n verbonde ruimte uit, maar hierdie artikel volg nie die praktyk nie.

Vir 'n topologiese ruimte X is die volgende toestande gelykstaande:

  1. X is verbind.
  2. X kan nie in twee uiteenlopende, geslote stelle verdeel word nie .
  3. Die enigste subgroepe van X wat oop en toe is ( geslote stelle ) is X en die leë stel.
  4. Die enigste subgroepe van X met leë grens is X en die leë stel.
  5. X kan nie geskryf word as die vereniging van twee stelle wat nie vry is nie .
  6. Die enigste deurlopende funksies van X tot {0,1}, die tweepuntspasie met die diskrete topologie, is konstant.

Elke interval in R word gekoppel .

Die deurlopende beeld van 'n gekoppelde ruimte word verbind.

Konnekteerde komponente

Die maksimum gekoppelde deelgroepe (gerangskik deur insluiting ) van 'n nie -vrye topologiese ruimte word die verbonde komponente van die ruimte genoem. Die komponente van enige topologiese ruimte X vorm 'n partisie van  X : hulle is uiteenlopend , onbuigsaam en hul vereniging is die hele ruimte. Elke komponent is 'n geslote deelversameling van die oorspronklike ruimte. Hieruit volg dat elke komponent in die geval waar hul getal eindig is, ook 'n oop subset is. As hul aantal egter oneindig is, is dit moontlik nie die geval nie; die gekoppelde komponente van die stel rasionale getalle is byvoorbeeld die eenpuntstelle wat nie oop is nie.

Laat wees die gekoppelde komponent van x in 'n topologiese ruimte X , enwees die kruising van alle oop-geslote stelle wat x bevat (genoem kwasi-komponent van x .) Danwaar die gelykheid geld as X kompakte Hausdorff is of plaaslik verbind is.

Ontkoppelde spasies

'N Ruimte waarin alle komponente eenpuntstelle is, word heeltemal ontkoppel genoem . Om hierdie eiendom verwante, 'n ruimte X genoem heeltemal geskei as, vir enige twee afsonderlike elemente x en y van X , daar disjunkte bestaan oop woonbuurte U van x en V van y so dat X is die unie van U en V . Dit is duidelik dat enige heeltemal geskei ruimte heeltemal ontkoppel is, maar die omgekeerde hou nie. Neem byvoorbeeld twee afskrifte van die rasionale getalle Q, en identifiseer dit op elke punt behalwe nul. Die gevolglike ruimte, met die kwotientopologie, is heeltemal ontkoppel. Deur die twee afskrifte van nul in ag te neem, sien u dat die ruimte nie heeltemal geskei is nie. Trouens, dit is nie eens Hausdorff nie , en die toestand om heeltemal geskei te wees, is streng sterker as die toestand om Hausdorff te wees.

Pad-gekoppelde stelle

Hierdie subruimte van R ² is pad-verbind, omdat 'n pad tussen twee punte in die ruimte getrek kan word.

'N Pad van 'n punt x na 'n punt y in 'n topologiese ruimte X is 'n deurlopende funksie f van die eenheidsinterval [0,1] na X met f (0) = x en f (1) = y . 'N Padkomponent van X is 'n ekwivalensieklas van X onder die ekwivalensieverhouding , wat x ekwivalent aan y maak as daar 'n pad van x na y is. Die ruimte X word gesê dat -pad verbind (of pathwise verbind of 0 verbind ) indien daar hoogstens een pad-komponent, naamlik as daar 'n pad saam met enige twee punte in X . Weereens sluit baie skrywers die leë ruimte uit.

Elke pad-gekoppelde ruimte is verbind. Die omgekeerde is nie altyd waar nie: voorbeelde van verbonde ruimtes wat nie padverbind is nie, sluit die uitgebreide langlyn L * en die sinoloog van die topoloog in .

Subgroepe van die werklike lyn R word egter verbind as en slegs as hulle pad-verbind is; hierdie deelversamelings is die intervalle van R . Ook, oop deelversamelings van R N of C N verbind as en slegs as hulle-pad verbind. Boonop is verbinding en padverbinding dieselfde vir eindige topologiese ruimtes .

Produkte van ruimtes

Gegewe X sodanig

is die Cartesiese produk van die topologiese ruimtes X i , geïndekseer deur, En die kanonieke projeksies p i  : XX i , die produk topologie op X word gedefinieer as die grofste topologie (dws die topologie met die minste oop stelle) waarvoor al die projeksies p i is deurlopende . Die produktopologie word soms die Tychonoff -topologie genoem .

Die oop stelle in die produktopologie is vakbonde (eindig of oneindig) van stelle van die vorm , Waar elke U i is oop in X i en U i  ≠  X i net eindig baie keer. In die besonder, vir 'n eindige produk (veral vir die produk van twee topologiese ruimtes), gee die produkte van basiselemente van die X i 'n basis vir die produk.

Die produktopologie op X is die topologie wat gegenereer word deur stelle van die vorm p i −1 ( U ), waar i in I is en U 'n oop subset van X i . Met ander woorde, die stelle { p i -1 ( U )} vorm 'n stutlaag vir die topologie op X . 'N Subversameling van X is oop as en slegs as dit 'n (moontlik oneindige) samevoeging van kruisings is van eindelik baie stelle van die vorm p i −1 (U ). Die p i −1 ( U ) word soms oop silinders genoem , en hul kruisings is silinderstelle .

Oor die algemeen vorm die produk van die topologieë van elke X i 'n basis vir wat die bokstopologie op X genoem word . Oor die algemeen is die bokstopologie fyner as die produktopologie, maar vir eindige produkte val dit saam.

Verwant aan kompaktheid is die stelling van Tychonoff : die (arbitrêre) produk van kompakte ruimtes is kompak.

Skeidingsaksiomas

Baie van hierdie name het alternatiewe betekenisse in sommige wiskundige literatuur, soos uiteengesit oor Geskiedenis van die skeidingsaksiomas ; die betekenisse van "normaal" en "T 4 " word byvoorbeeld soms verwissel, soortgelyk "gereeld" en "T 3 ", ens. Baie van die begrippe het ook verskeie name; die een wat die eerste keer gelys is, is egter die minste geneig om dubbelsinnig te wees.

Die meeste van hierdie aksiomas het alternatiewe definisies met dieselfde betekenis; die definisies wat hier gegee word, val in 'n konsekwente patroon wat verband hou met die verskillende opvattings oor skeiding wat in die vorige afdeling gedefinieer is. Ander moontlike definisies kan gevind word in die individuele artikels.

In al die volgende definisies is X weer 'n topologiese ruimte .

  • X is T 0 , of Kolmogorov , indien enige twee afsonderlike punte in X is topologically onderskei . (Dit is 'n algemene tema onder die skeidingsaksiomas om een ​​weergawe van 'n aksioma te hê wat T 0 benodig en een weergawe wat nie.)
  • X is T 1 , of toeganklik of Fréchet , as twee verskillende punte in X geskei word. So, X is T 1 as en slegs as dit is beide T 0 en R 0 . (Alhoewel u dinge soos T 1 -ruimte , Fréchet -topologie , en veronderstel dat die topologiese ruimte X Fréchet is , vermy dit om in hierdie konteks Fréchet -ruimte te sê , aangesien daar 'n heel ander idee van Fréchet -ruimte in funksionele analise is .)
  • X is Hausdorff , of T 2 of geskei , as twee verskillende punte in X deur buurte geskei word. Dus, X is Hausdorff as dit slegs T 0 en R 1 is . 'N Hausdorff -ruimte moet ook T 1 wees .
  • X is T , of Urysohn , as twee afsonderlike punte in X geskei word deur geslote buurte. OP ruimte moet ook Hausdorff wees.
  • X is gereeld , of T 3 , as dit T 0 is en as 'n punt x en 'n geslote stel F in X gegee word , sodat x nie aan F behoort nie , word dit deur buurte geskei. (Trouens, in 'n gewone ruimte word sulke x en F ook geskei deur geslote buurte.)
  • X is Tychonoff , of T , heeltemal T 3 , of heeltemal gereeld , as dit T 0 is en as f, gegewe enige punt x en geslote stel F in X , sodat x nie aan F behoort nie , word hulle geskei deur 'n kontinue funksie.
  • X is normaal , of T 4 , as dit Hausdorff is en as twee afsonderlike geslote subgroepe van X deur buurte geskei word. (Eintlik is 'n spasie normaal as en slegs as twee twee gesamentlike geslote stelle deur 'n deurlopende funksie geskei kan word; dit is Urysohn se lemma .)
  • X is heeltemal normaal , of T 5 of heeltemal T 4 , as dit T 1 is en as twee geskei stelle deur buurte geskei word. 'N Heeltemal normale ruimte moet ook normaal wees.
  • X is heeltemal normaal , of T 6 of perfek T 4 , as dit T 1 is en as twee ongebonde, geslote stelle presies deur 'n deurlopende funksie geskei word. 'N Heeltemal normale Hausdorff -ruimte moet ook heeltemal normale Hausdorff wees.

Die stelling van Tietze-uitbreiding : In 'n normale ruimte kan elke deurlopende werklike waarde-funksie gedefinieer op 'n geslote subruimte uitgebrei word tot 'n deurlopende kaart wat in die hele ruimte gedefinieer is.

Telbare aksiomas

'N Axioma van telbaarheid is 'n eienskap van sekere wiskundige voorwerpe (gewoonlik in 'n kategorie ) wat die bestaan ​​van 'n telbare stel met sekere eienskappe vereis, terwyl daarsonder moontlik nie sulke stelle bestaan ​​nie.

Belangrike telbare aksiomas vir topologiese ruimtes :

Verhoudings:

  • Elke eerste telbare spasie is opeenvolgend.
  • Elke tweede telbare spasie is eerste-telbaar, skeibaar en Lindelöf.
  • Elke σ-kompakte ruimte is Lindelöf.
  • 'N Metrieke ruimte is eerste telbaar.
  • Vir metrieke ruimtes is tweede telbaarheid, skeibaarheid en die Lindelöf-eiendom almal gelyk.

Metrieke spasies

'N Metrieke spasie [7] is 'n geordende paar waar is 'n stel en is 'n metriek opdit wil sê 'n funksie

sodanig dat vir enige , geld die volgende:

  1.     ( nie-negatief ),
  2. iff     ( identiteit van ononderskeibare dinge ),
  3.     ( simmetrie ) en
  4.     ( driehoek ongelykheid ).

Die funksie word ook afstandsfunksie genoem of bloot afstand . Dikwels, word weggelaat en 'n mens skryf net vir 'n metrieke ruimte as dit duidelik is uit die konteks watter metrieke gebruik word.

Elke metrieke ruimte is parakompak en Hausdorff , en dus normaal .

Die metriseringstellings bied die nodige en voldoende voorwaardes vir 'n topologie om uit 'n metriek te kom.

Baire -kategoriestelling

Die stelling van Baire -kategorie sê: As X 'n volledige metrieke ruimte of 'n plaaslik kompakte Hausdorff -ruimte is, dan is die binnekant van elke vakbond van talle nêrens digte stelle leeg. [8]

Enige oop deelruimte van 'n Baire -ruimte is self 'n Baire -ruimte.

Hoofgebiede van navorsing

Drie iterasies van 'n Peano-kurwe-konstruksie, waarvan die limiet 'n ruimte-vulkromme is. Die Peano -kromme word bestudeer in kontinuumteorie , 'n vertakking van algemene topologie .

Kontinuumteorie

'N Kontinuum (pl continua ) is 'n kompakte gekoppelde metrieke ruimte , of minder gereeld, 'n kompakte gekoppelde Hausdorff -ruimte . Kontinuumteorie is die tak van topologie wat toegewy is aan die studie van continua. Hierdie voorwerpe kom gereeld voor op byna alle gebiede van topologie en analise , en hul eienskappe is sterk genoeg om baie 'geometriese' kenmerke op te lewer.

Dinamiese stelsels

Topologiese dinamika handel oor die gedrag van 'n ruimte en sy onderruimtes oor tyd as dit aan konstante verandering onderworpe is. Baie voorbeelde met toepassings op fisika en ander wiskundige gebiede sluit in vloeistofdinamika , biljart en vloei op spruitstukke. Die topologiese kenmerke van fraktale in fraktale meetkunde, van Julia -stelle en die Mandelbrot -stel wat uit komplekse dinamika ontstaan , en van aantrekkers in differensiaalvergelykings is dikwels van kritieke belang om hierdie stelsels te verstaan. [ aanhaling nodig ]

Sinlose topologie

Nutteloos topologie (ook bekend as pointfree of pointfree topologie ) is 'n benadering tot topologie wat vermy waarin punte. Die naam 'sinnelose topologie' is te danke aan John von Neumann . [9] Die idees van sinnelose topologie hou nou verband met merotopologieë , waarin streke (stelle) as grondslag behandel word sonder eksplisiete verwysing na onderliggende puntstelle.

Dimensie teorie

Dimensionsteorie is 'n tak van algemene topologie wat handel oor dimensionele invariante van topologiese ruimtes .

Topologiese algebras

'N Topologiese algebra A oor 'n topologiese veld K is 'n topologiese vektorruimte saam met 'n deurlopende vermenigvuldiging

wat maak dit 'n algebra oor K . 'N Uniale assosiatiewe topologiese algebra is 'n topologiese ring .

Die term is geskep deur David van Dantzig ; dit verskyn in die titel van sy doktorale proefskrif (1931).

Metrizability -teorie

In topologie en verwante gebiede van wiskunde is 'n meetbare ruimte 'n topologiese ruimte wat homeomorf is vir 'n metrieke ruimte . Dit wil sê, 'n topologiese ruimte word gesê dat dit meetbaar is as daar 'n metriek is

sodanig dat die topologie wat deur d veroorsaak word. Metriseringstellings is stellings wat voldoende voorwaardes bied om 'n topologiese ruimte te meet.

Stel-teoretiese topologie

Stelteoretiese topologie is 'n onderwerp wat stelteorie en algemene topologie kombineer. Dit fokus op topologiese vrae wat onafhanklik is van die Zermelo – Fraenkel -stelteorie (ZFC). 'N Bekende probleem is die normale Moore -ruimtevraag , 'n vraag in algemene topologie wat intensief ondersoek is. Die antwoord op die normale Moore -ruimtevraag was uiteindelik onafhanklik van ZFC.

Sien ook

Verwysings

  1. ^ Munkres, James R. Topologie. Vol. 2. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.
  2. ^ Adams, Colin Conrad en Robert David Franzosa. Inleiding tot topologie: suiwer en toegepas. Pearson Prentice Hall, 2008.
  3. ^ Merrifield, Richard E .; Simmons, Howard E. (1989). Topologiese metodes in chemie . New York: John Wiley & Sons. bl.  16 . ISBN 0-471-83817-9. Besoek op 27 Julie 2012 . Definisie. 'N Versameling B van deelversamelings van 'n topologiese ruimte (X, T) is bekend as 'n basis vir T as al die oop stel uitgedruk kan word as 'n unie van lede van B .
  4. ^ Armstrong, MA (1983). Basiese topologie . Springer. bl. 30. ISBN 0-387-90839-0. Besoek op 13 Junie 2013 . Gestel ons het 'n topologie oor 'n stel X en 'n versameling van oop stelle sodat elke oop stel 'n vakbond van lede is . Toeword 'n basis vir die topologie genoem ...
  5. ^ Moore, EH ; Smith, HL (1922). "'N Algemene teorie van grense". American Journal of Mathematics . 44 (2): 102–121. doi : 10.2307/2370388 . JSTOR 2370388 . 
  6. ^ Heine, E. (1872). "Die Elemente der Functionenlehre." Journal für die reine und angewandte Mathematik . 74 : 172–188.
  7. ^ Maurice Fréchet het metrieke ruimtes bekendgestel in sy werk Sur quelques points du calcul fonctionnel , Rendic. Sirkel. Mat. Palermo 22 (1906) 1–74.
  8. ^ R. Baire. Sur les fonctions de variables réelles. Ann. di Mat., 3: 1–123, 1899.
  9. ^ Garrett Birkhoff, VON NEUMANN AND LATTICE THEORY , John Von Neumann 1903-1957 , JC Oxtoley, BJ Pettis, American Mathematical Soc., 1958, bladsy 50-5

Lees verder

Sommige standaardboeke oor algemene topologie sluit in:

Die arXiv -vakkode is wiskunde.GN .

Eksterne skakels

  • Media wat verband hou met algemene topologie op Wikimedia Commons