n -sfeer

Vanuit Wikipedia, die vrye ensiklopedie
Spring na navigasieSpring na soek
2-sfeer draadraamwerk as 'n ortogonale projeksie
Net soos 'n stereografiese projeksie ' n bol se oppervlak na 'n vlak kan projekteer, kan dit ook 'n 3-sfeer in 3-ruimte projekteer. Hierdie beeld toon drie koördinaatrigtings wat na die 3-spasie geprojekteer word: parallelle (rooi), meridiane (blou) en hypermeridiane (groen). As gevolg van die konformale eienskap van die stereografiese projeksie, sny die krommes mekaar orthogonaal (in die geel punte) soos in 4D. Al die krommes is sirkels: die krommes wat ⟨0,0,0,1⟩ sny, het 'n oneindige radius (= reguit lyn).

In wiskunde , 'n N -sphere is 'n topologiese ruimte wat homeomorphic om 'n standaard N - gebied , wat is die stel van punte in ( N + 1) -dimensional Euklidiese ruimte wat geleë is teen 'n konstante afstand r vanaf 'n vaste punt, die sentrum gebel . Dit is die veralgemening van 'n gewone sfeer in die gewone driedimensionele ruimte . Die "radius" van 'n bol is die konstante afstand van sy punte na die middelpunt. As die sfeer eenheidsradius het, is dit normaal om dit te noemdie eenheid n -sfeer of bloot die n -sfeer vir kortheid. In terme van die standaardnorm word die n -sfeer gedefinieer as

en 'n n -sfeer met radius r kan gedefinieer word as

Die dimensie van n -sfeer is n , en moet nie verwar word met die dimensie ( n + 1) van die Euklidiese ruimte waarin dit natuurlik ingebed is nie . 'N N -sfeer is die oppervlak of grens van 'n ( n + 1) -dimensionele bal .

In die besonder:

  • die paar punte aan die ente van 'n (eendimensionele) lynsegment is 'n 0-sfeer,
  • 'n sirkel , wat die eendimensionele omtrek van 'n (tweedimensionele) skyf is , is 'n 1-sfeer,
  • die tweedimensionele oppervlak van 'n driedimensionele bal is 'n 2-bol, dikwels bloot 'n bol genoem,
  • die driedimensionele grens van 'n (vierdimensionele) 4-bal is 'n 3-sfeer ,
  • die n -1 dimensionele grens van 'n ( n -dimensionele) n -bal is 'n ( n -1) -sfeer.

Vir n ≥ 2 kan die n -sfere wat differensiële spruitstukke is, gekenmerk word ( tot ' n diffeomorfisme ) as die eenvoudig gekoppelde n -dimensionele verdelings van konstante, positiewe kromming . Die n -sfere gee verskeie ander topologiese beskrywings toe: hulle kan byvoorbeeld saamgestel word deur twee n -dimensionele Euclidiese ruimtes aan mekaar te plak , deur die grens van 'n n -kubus met 'n punt te identifiseer, of (induktief) deur die suspensie van 'n ( n - 1)-sfeer. Die 1-sfeer is die 1-veelvoud wat 'n sirkel is, wat nie eenvoudig verbind is nie. Die 0-sfeer is die 0-manifold wat uit twee punte bestaan, wat nie eers verbind is nie.

Beskrywing

Vir enige natuurlike getal n word 'n n -sfeer met radius r gedefinieer as die stel punte in ( n + 1) -dimensionele Euclidiese ruimte wat op afstand r van 'n vaste punt c is , waar r enige positiewe reële getal kan wees en waar c enige punt in ( n + 1) -dimensionele ruimte kan wees. In die besonder:

  • 'n 0-sfeer is 'n paar punte { c - r , c + r } , en is die grens van 'n lynsegment (1-bal).
  • 'n 1-bol is 'n sirkel met radius r gesentreer by c , en is die grens van 'n skyf (2-bal).
  • 'n 2-bol is 'n gewone 2-dimensionele bol in die 3-dimensionele Euklidiese ruimte, en is die grens van 'n gewone bal (3-bal).
  • 'n 3-sfeer is 'n 3-dimensionele sfeer in die 4-dimensionele Euklidiese ruimte.

Euklidiese koördinate in ( n + 1) -ruimte

Die stel punte in ( n + 1) -ruimte, ( x 1 , x 2 , ..., x n +1 ) , wat 'n n -sfeer definieer ,, word voorgestel deur die vergelyking:

waar c = ( c 1 , c 2 , ..., c n +1 ) 'n middelpunt is, en r die radius is.

Bogenoemde N -sphere bestaan in ( N + 1) -dimensional Euklidiese ruimte en is 'n voorbeeld van 'n N - manifold . Die volume vorm ω van 'n N -sphere van radius r gegee word deur

waar die Hodge -steroperateur is ; sien Vlaandere (1989 , §6.1) vir 'n bespreking en bewys van hierdie formule in die geval r = 1 . As gevolg daarvan,

n -bal

Die ruimte omring deur 'n n -sfeer word 'n ( n + 1) - bol genoem . 'N ( n + 1) -bal is gesluit as dit die n -sfeer insluit, en dit is oop as dit nie die n -sfeer insluit nie.

Spesifiek:

  • 'N 1- bal , 'n lynsegment , is die binnekant van 'n 0-bol.
  • 'N 2- bal , 'n skyf , is die binnekant van 'n sirkel (1-bol).
  • 'N 3- Bal , 'n gewone bal , is die binnekant van 'n bol (2-bol).
  • 'N 4- bal is die binnekant van 'n 3-bol , ens.

Topologiese beskrywing

Topologies kan 'n n -sfeer as 'n eenpunt -verdigting van die n -dimensionele Euclidiese ruimte gekonstrueer word . In kort kan die n -sfeer beskryf word as S n = ℝ n ∪ {∞} , wat n -dimensionele Euklidiese ruimte is plus 'n enkele punt wat oneindigheid in alle rigtings verteenwoordig. In die besonder, as 'n enkele punt uit 'n n -sfeer verwyder word, word dit homeomorf tot n . Dit vorm die basis vir stereografiese projeksie . [1]

Volume en oppervlakte

V N ( R ) en S N ( R ) is die N -dimensional volume van die N -ball en die oppervlakte van die N -sphere ingebed in dimensie N + 1 , onderskeidelik, van radius R .

Die konstantes V n en S n (vir R = 1 , die eenheidsbal en bol) word deur die herhalings verwant:

Die oppervlaktes en volumes kan ook in geslote vorm gegee word:

waar Γ die gammafunksie is . Afleidings van hierdie vergelykings word in hierdie afdeling gegee.

Grafieke van volumes  ( V ) en oppervlaktes  ( S ) van n -balletjies met radius 1. Beweeg in die SVG -lêer oor 'n punt om dit en die waarde daarvan uit te lig.
Oor die algemeen is die volume van die n -bal in n -dimensionele Euklidiese ruimte en die oppervlakte van die n -sfeer in ( n + 1) -dimensionele Euklidiese ruimte, van radius R , eweredig aan die n de krag van die radius, R (met verskillende eweredigheidskonstante wat wissel met n ). Ons skryf V n ( R ) = V n R n vir die volume van die n -bal en S n ( R ) = S n Rn vir die oppervlakte van die n -sfeer, beide van radius R , waar V n = V n (1)en S n = S n (1)die waardes vir die eenheid -radius geval is.

In teorie kan 'n mens die waardes van S n ( R ) en S m ( R ) vir nm vergelyk . Dit is egter nie goed gedefinieer nie. Byvoorbeeld, as n = 2 en m = 3, dan is die vergelyking soos om 'n aantal vierkante meter met 'n ander aantal kubieke meter te vergelyk. Dieselfde geld vir 'n vergelyking van V n ( R ) en V m ( R ) vir nm .

Voorbeelde

Die 0-bal bestaan ​​uit 'n enkele punt. Die 0-dimensionele Hausdorff-maatstaf is die aantal punte in 'n stel. Dus,

Die 0-sfeer bestaan ​​uit sy twee eindpunte, {−1,1} . Dus,

Die eenheid 1-bal is die interval [−1,1] van lengte 2. Dus,

Die eenheid 1-sfeer is die eenheidsirkel in die Euklidiese vlak, en dit het omtrek (1-dimensionele maat)

Die gebied wat deur die eenheid 1-sfeer omring word, is die 2-bal of eenheidskyf, en dit het 'n oppervlakte (2-dimensionele maat)

Analoog, in die driedimensionele Euklidiese ruimte, word die oppervlakte (2-dimensionele maat) van die eenheid 2-sfeer gegee deur

en die ingeslote volume is die volume (3-dimensionele maat) van die eenheid 3-bal, gegee deur

Herhalings

Die oppervlak , of behoorlik die n -dimensionele volume, van die n -sfeer op die grens van die ( n + 1) -bal van radius R hou verband met die volume van die bal deur die differensiaalvergelyking

of, gelykstaande, die eenheid n -bal voorstel as 'n vereniging van konsentriese ( n -1) sfeer skulpe ,

Dus,

Ons kan ook die eenheid ( n + 2) -sfeer voorstel as 'n vereniging van produkte van 'n sirkel (1 -sfeer ) met 'n n -sfeer. Laat r = cos θ en r 2 + R 2 = 1 , sodat R = sin θ en dR = cos θ . Dan,

Aangesien S 1 = 2π V 0 , is die vergelyking

geld vir almal n .

Dit voltooi die afleiding van die herhalings:

Geslote vorms

As ons die herhalings kombineer, sien ons dit

Dit is dus eenvoudig om deur induksie op k te wys dat,

waar !! dui die dubbele faktoriaal aan , gedefinieer vir onewe natuurlike getalle 2 k + 1 deur (2 k + 1) !! = 1 × 3 × 5 × ... × (2 k - 1) × (2 k + 1) en soortgelyk vir ewe getalle (2 k ) !! = 2 × 4 × 6 × ... × (2 k - 2) × (2 k ) .

Oor die algemeen word die volume, in n -dimensionele Euclidiese ruimte, van die eenheid n -bal gegee deur

waar Γ die gamma -funksie is , wat Γ (1/2) = π , Γ (1) = 1 , en Γ ( x + 1) = x Γ ( x ) , en so Γ ( x + 1) = x ! , en waar ons omgekeerd x definieer ! = Γ ( x + 1) vir elke  x .

Deur V n te vermenigvuldig met R n , te differensieer ten opsigte van R , en dan R = 1 te stel , kry ons die geslote vorm

vir die ( n  -1) -dimensionele volume van die sfeer S n −1 .

Ander verhoudings

Die herhalings kan gekombineer word om 'n "omgekeerde rigting" herhalingsverhouding vir die oppervlakte te gee, soos in die diagram uitgebeeld:

n verwys na die dimensie van die omringende Euklidiese ruimte, wat ook die intrinsieke dimensie is van die vaste stof waarvan die volume hier gelys word, maar wat 1 meer is as die intrinsieke dimensie van die sfeer waarvan die oppervlakte hier gelys word. Die geboë rooi pyle wys die verband tussen formules vir verskillende n . Die formulekoëffisiënt by die punt van elke pyl is gelyk aan die formulekoëffisiënt by die pyl se stert maal die faktor in die pylpunt (waar die n in die pylpunt verwys na die n waarde waarna die pylpunt wys). As die rigting van die onderste pyle omgekeer word, sou hulle pylpunte sê om te vermenigvuldig met/n - 2. Alternatiewelik gesê, die oppervlakte S n +1 van die bol in n + 2 afmetings is presies 2 π R maal die volume V n wat deur die sfeer in n afmetings omhul is .

Indeksverskuiwing van n na n -2 lewer dan die herhalingsverhoudings:

waar S 0 = 2 , V 1 = 2 , S 1 = 2 π en V 2 = π .

Die herhalingsverhouding vir V n kan ook bewys word deur integrasie met 2-dimensionele polêre koördinate :

Sferiese koördinate

Ons kan 'n koördinaatstelsel definieer in 'n n -dimensionele Euklidiese ruimte wat analoog is aan die sferiese koördinaatstelsel wat gedefinieer is vir die driedimensionele Euklidiese ruimte, waarin die koördinate bestaan ​​uit 'n radiale koördinaat r , en n -1 hoekkoördinate φ 1 , φ 2 , ... φ n −1 , waar die hoeke φ 1 , φ 2 , ... φ n −2 wissel oor [0, π] radiale (of meer as [0,180] grade) en φ n −1wissel oor [0,2π) radiale (of meer as [0,360) grade). As x i die Cartesiese koördinate is, kan ons x 1 , ... x n van r , φ 1 , ... φ n −1 bereken met: [2]

Behalwe in die spesiale gevalle wat hieronder beskryf word, is die inverse transformasie uniek:

waar as x k ≠ 0 vir sommige k maar al x k +1 , ... x n nul is dan φ k = 0 wanneer x k > 0 , en φ k = π (180 grade) wanneer x k <0 .

Daar is 'n paar spesiale gevalle waar die omgekeerde transformasie nie uniek is nie; φ k vir enige k sal dubbelsinnig wees wanneer al x k , x k +1 , ... x n nul is; in hierdie geval kan φ k gekies word om nul te wees.

Sferiese volume en oppervlakte -elemente

Om die volume -element van n -dimensionele Euclidiese ruimte uit te druk in terme van sferiese koördinate, moet u eers let op dat die Jacobiaanse matriks van die transformasie:

Die determinant van hierdie matriks kan deur induksie bereken word. As n = 2 , toon 'n eenvoudige berekening dat die determinant r is . Vir groter n , let op dat J n soos volg opgebou kan word uit J n - 1 . Behalwe in kolom n , is rye n - 1 en n van J n dieselfde as ry n - 1 van J n - 1 , maar vermenigvuldig met 'n ekstra faktor van cos φ n - 1 in ry n - 1en 'n ekstra faktor van sin φ n - 1 in ry n . In kolom n is rye n - 1 en n van J n dieselfde as kolom n - 1 van ry n - 1 van J n - 1 , maar vermenigvuldig met ekstra faktore van sin φ n - 1 in ry n - 1 en cos φ n - 1 in ry n , onderskeidelik. Die determinant van J n kan bereken word deurLaplace -uitbreiding in die laaste kolom. Deur die rekursiewe beskrywing van J n , word die submatriks gevorm deur die invoer by ( n - 1, n ) en sy ry en kolom te skrap , amper gelyk aan J n - 1 , behalwe dat sy laaste ry vermenigvuldig word met sin φ n - 1 . Net so is die submatriks wat gevorm word deur die invoer by ( n , n ) en sy ry en kolom te skrap , amper gelyk aan J n - 1 , behalwe dat sy laaste ry vermenigvuldig word met cos φ n - 1 . Daarom is die determinant vanJ n is

Induksie gee dan 'n geslote-uitdrukking vir die volume-element in sferiese koördinate

Die formule vir die volume van die n -bal kan hieruit afgelei word deur integrasie.

Net so word die oppervlakte -element van die ( n -1) -sfeer van radius R , wat die oppervlakte -element van die 2 -sfeer veralgemeen , gegee deur

Die natuurlike keuse van 'n ortogonale basis bo die hoekkoördinate is 'n produk van ultrasoniese polinome ,

vir j = 1, 2, ... n - 2 , en die e isφ j vir die hoek j = n - 1 in ooreenstemming met die sferiese harmonieke .

Polisferiese koördinate

Die standaard sferiese koördinaatstelsel kom voort uit die skryf van n as die produk ℝ × ℝ n - 1 . Hierdie twee faktore kan verband hou met behulp van polêre koördinate. Vir elke punt x van n , is die standaard Cartesiese koördinate

kan omskep word in 'n gemengde polêr -Cartesiese koördinaatstelsel:

Dit sê dat punte in N deur die neem van die straal begin by die ontstaan en wat deur mag uitgespreek z ∈ ℝ N - 1 , roterende dit na die eerste basis vektor deur θ , en dit 'n afstand r langs die straal. Herhaling van hierdie ontbinding lei uiteindelik tot die standaard sferiese koördinaatstelsel.

Polisferiese koördinaatstelsels spruit uit die veralgemening van hierdie konstruksie. [3] Die ruimte n is verdeel as die produk van twee Euclidiese ruimtes van kleiner dimensie, maar nie een van die spasies hoef 'n lyn te wees nie. Veronderstel spesifiek dat p en q positiewe heelgetalle is, sodat n = p + q . Dan n = ℝ p × ℝ q . Deur hierdie ontbinding te gebruik, kan 'n punt x ∈ ℝ n geskryf word as

Dit kan omskep word in 'n gemengde polêr -Cartesiese koördinaatstelsel deur te skryf:

Hier en is die eenheidsvektore wat verband hou met y en z . Dit druk x uit in terme van, , r ≥ 0 , en 'n hoek θ . Dit bewys kan word dat die domein van θ is [0, 2π) as p = q = 1 , [0, π] as presies een van p en q is 1, en [0, π / 2] as nie p nie q is 1. Die inverse transformasie is

Hierdie splitsings kan herhaal word, solank een van die faktore betrokke is, afmeting twee of groter het. 'N Polisferiese koördinaatstelsel is die gevolg van die herhaling van hierdie splitsings totdat daar geen Cartesiese koördinate oor is nie. Splitsings na die eerste vereis nie 'n radiale koördinaat nie omdat die domeine van en is sfere, dus is die koördinate van 'n polisferiese koördinaatstelsel 'n nie-negatiewe radius en n -1 hoeke. Die moontlike polisferiese koördinaatstelsels stem ooreen met binêre bome met n blare. Elke nie-blaarknoop in die boom stem ooreen met 'n skeuring en bepaal 'n hoekkoördinaat. Byvoorbeeld, die wortel van die boom stel n voor , en sy onmiddellike kinders verteenwoordig die eerste verdeling in p en q . Blaarknope stem ooreen met Cartesiese koördinate vir S n - 1. Die formules vir die omskakeling van polisferiese koördinate na Cartesiese koördinate kan bepaal word deur die paaie van die wortel na die blaarknope te vind. Hierdie formules is produkte met een faktor vir elke tak wat deur die pad geneem word. Vir 'n knoop waarvan die ooreenstemmende hoekkoördinaat θ i is , neem die linkertak 'n faktor van sin in, en neem die regte tak 'n faktor van cos θ i . Die omgekeerde transformasie, van polisferiese koördinate tot Cartesiese koördinate, word bepaal deur groeperingsknooppunte. Elke paar nodusse wat 'n gemeenskaplike ouer het, kan omgeskakel word van 'n gemengde polêr -Cartesiese koördinaatstelsel na 'n Cartesiese koördinaatstelsel met behulp van bogenoemde formules vir 'n verdeling.

Polisferiese koördinate het ook 'n interpretasie in terme van die spesiale ortogonale groep . 'N Verdeel ℝ n = ℝ p × ℝ q bepaal 'n subgroep

Dit is die subgroep wat elk van die twee faktore verlaat reggemaak. Om 'n stel kosetverteenwoordigers vir die kwosiënt te kies, is dieselfde as om verteenwoordigende hoeke te kies vir hierdie stap van die ontleding van polisferiese koördinaat.

In polisferiese koördinate is die volumemaat op n en die oppervlaktemaat op S n - 1 produkte. Daar is een faktor vir elke hoek, en die volumemaat op n het ook 'n faktor vir die radiale koördinaat. Die oppervlaktemaat het die vorm:

waar die faktore F i deur die boom bepaal word. Net so is die volumemaat

Gestel ons het 'n knoop van die boom wat ooreenstem met die ontbinding n 1 + n 2 = ℝ n 1 × ℝ n 2 en wat hoekkoördinaat θ het . Die ooreenstemmende faktor F hang af van die waardes van n 1 en n 2 . As die oppervlaktemaat genormaliseer word sodat die oppervlakte van die bol 1 is, is hierdie faktore soos volg. As n 1 = n 2 = 1 , dan

As n 1 > 1 en n 2 = 1 , en as B die beta -funksie aandui , dan

As n 1 = 1 en n 2 > 1 , dan

Laastens, as beide n 1 en n 2 groter as een is, dan

Stereografiese projeksie

Net soos 'n tweedimensionele sfeer wat in drie dimensies ingebed is, deur 'n stereografiese projeksie op 'n tweedimensionele vlak gekarteer kan word , kan 'n n -sfeer op 'n n -dimensionele hiperplan gekarteer word deur die n -dimensionele weergawe van die stereografiese projeksie. Byvoorbeeld, die punt [ x , y , z ] op 'n tweedimensionele sfeer van radius 1 kaart na die punt [x/1 - z,y/1 - z] op die xy -vliegtuig. Met ander woorde,

Net so sal die stereografiese projeksie van 'n n -sfeer S n −1 van radius 1 na die ( n -1) -dimensionele hiperplan n −1 loodreg op die x n -as as

Genereer ewekansige punte

Eenvormig ewekansig op die ( n -1) -sfeer

'N Stel eweredig verspreide punte op die oppervlak van 'n eenheid 2-sfeer gegenereer met behulp van Marsaglia se algoritme.

Om eenvormig verspreide ewekansige punte op die eenheid ( n -1) -sfeer (dit wil sê die oppervlak van die eenheid n -bal ) te genereer , gee Marsaglia (1972) die volgende algoritme.

Genereer 'n n -dimensionele vektor van normale afwykings (dit is voldoende om N (0, 1) te gebruik , alhoewel die keuse van die variansie eintlik willekeurig is), x = ( x 1 , x 2 , ... x n ) . Bereken nou die "radius" van hierdie punt:

Die vektor 1/rx is eenvormig versprei oor die oppervlak van die eenheid n -bal.

'N Alternatief wat deur Marsaglia gegee word, is om 'n punt x = ( x 1 , x 2 , ... x n ) in die eenheid n -kubus gelykmatig te kies deur elke x i onafhanklik van die eenvormige verdeling oor (–1,1) te monsternem , bereken r soos hierbo, en verwerp die punt en hermonsterneming as r ≥ 1 (dit wil sê, as die punt nie in die n -bal is nie), en as 'n punt in die bal verkry word, vergroot dit tot die sferiese oppervlak met die faktor1/r; dan weer1/rx is eenvormig versprei oor die oppervlak van die eenheid n -bal. Hierdie metode word baie ondoeltreffend vir hoër afmetings, aangesien 'n verdwynende klein fraksie van die eenheidskubus in die sfeer voorkom. In tien dimensies word minder as 2% van die kubus deur die bol gevul, sodat gewoonlik meer as 50 pogings nodig sal wees. In sewentig dimensies, minder as van die kubus gevul is, wat beteken dat tipies 'n biljoen kwadriljoen proewe nodig sal wees, baie meer as wat 'n rekenaar ooit sou kon uitvoer.

Eenvormig ewekansig binne die n -bal

Met 'n punt wat ewewydig willekeurig uit die oppervlak van die eenheid ( n -1) -sfeer gekies is (bv. Deur Marsaglia se algoritme te gebruik), het 'n mens slegs 'n radius nodig om 'n ewewydige punt binne die eenheid n -bal te verkry. As u 'n getal is wat ewekansig gegenereer word uit die interval [0, 1] en x 'n punt is wat willekeurig uit die eenheid ( n -1) -sfeer gekies word, dan word u 1 / n x eenvormig binne die eenheid versprei n -bal.

Alternatiewelik kan punte eenvormig vanuit die eenheid n -bal bemonster word deur 'n vermindering van die eenheid ( n + 1) -sfeer. In die besonder, as ( x 1 , x 2 , ..., x n +2 ) 'n punt is wat eenvormig uit die eenheid ( n + 1) -sfeer gekies is, dan ( x 1 , x 2 , ..., x n ) word eweredig binne die eenheid n -bal versprei (dws deur eenvoudig twee koördinate weg te gooi). [4]

As n voldoende groot is, sal die grootste deel van die volume van die n -bal in die gebied geleë wees, baie naby aan die oppervlak daarvan, dus 'n punt wat uit daardie volume gekies is, sal waarskynlik ook naby die oppervlak wees. Dit is een van die verskynsels wat lei tot die sogenaamde vloek van dimensionaliteit wat in sommige numeriese en ander toepassings ontstaan.

Spesifieke sfere

0-sfeer
Die paar punte R } met die diskrete topologie vir ongeveer R > 0 . Die enigste sfeer wat nie met die pad verbind is nie . Het 'n natuurlike Lie -groepstruktuur; isomorf tot O (1). Paralleliseerbaar.
1-sfeer
Ook bekend as die sirkel. Het 'n nie -privaat fundamentele groep. Abelian Lie groepstruktuur U (1) ; die sirkelgroep . Topologies ekwivalent aan die werklike projektiewe lyn , ℝP 1 . Paralleliseerbaar. SO (2) = U (1).
2-sfeer
Ook bekend as die bol. Komplekse struktuur; sien Riemann sfeer . Gelyk aan die komplekse projektiewe lyn , C P 1 . SO (3)/SO (2).
3-sfeer
Ook bekend as die glans . Paralleliseerbare, hoof U (1) -bondel oor die 2-sfeer, Lie-groepstruktuur Sp (1) , waar ook
.
4-sfeer
Ekwivalent aan die kwaternioniese projektiewe lyn , H P 1 . SO (5)/SO (4).
5-sfeer
Skoolhoof U (1) -bondel oor C P 2 . SO (6)/SO (5) = SU (3)/SU (2). Dit is onbeslisbaar as 'n gegewe n -dimensionele verdeelstuk homomorf is vir S n vir n  ≥ 5. [5]
6-sfeer
Beskik oor 'n byna komplekse struktuur wat uit die versameling van suiwer eenheid Oktoniese . SO (7) /SO (6) = G 2 /SU (3). Die vraag of dit 'n komplekse struktuur het, staan ​​bekend as die Hopf -probleem, na Heinz Hopf . [6]
7-sfeer
Topologiese quasigroup -struktuur as die stel eenheids -oktone . Skoolhoof Sp (1) -bondel oor S 4 . Paralleliseerbaar. SO (8)/SO (7) = SU (4)/SU (3) = Sp (2)/Sp (1) = spin (7)/ G 2 = spin (6)/SU (3). Die 7-sfeer is veral van belang, aangesien dit in hierdie dimensie was dat die eerste eksotiese sfere ontdek is.
8-sfeer
Ekwivalent aan die oktonioniese projektiewe lyn O P 1 .
23-sfeer
'N Baie digte sfeerverpakking is moontlik in die 24-dimensionele ruimte, wat verband hou met die unieke eienskappe van die Leech-rooster .

Oktaëdrale sfeer

Die oktaedrale n -sfeer word op dieselfde manier as die n -sfeer gedefinieer, maar met behulp van die 1 -norm

Die oktaedrale 1-sfeer is 'n vierkant (sonder sy binnekant). Die oktaedrale 2-sfeer is 'n gewone oktaeder ; vandaar die naam. Die oktaedrale n -sfeer is die topologiese verbinding van n  + 1 pare geïsoleerde punte. [7] Die topologiese verbinding van twee pare word intuïtief gegenereer deur 'n segment tussen elke punt in een paar en elke punt in die ander paar te trek; dit gee 'n vierkant. Om dit met 'n derde paar te verbind, trek 'n segment tussen elke punt op die vierkant en elke punt in die derde paar; dit gee 'n oktaeder.

Sien ook

Notas

  1. ^ James W. Vick (1994). Homologie teorie , p. 60. Springer
  2. ^ Blumenson, LE (1960). "'N Afleiding van n-dimensionele sferiese koördinate". The American Mathematical Monthly . 67 (1): 63–66. doi : 10.2307/2308932 . JSTOR  2308932 .
  3. ^ N. Ja. Vilenkin en AU Klimyk, Verteenwoordiging van leugroepe en spesiale funksies, Vol. 2: Klas I -voorstellings, spesiale funksies en integrale transformasies , uit die Russies vertaal deur VA Groza en AA Groza, Math. Appl., Vol. 74, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1992, ISBN 0-7923-1492-1 , pp. 223–226. 
  4. ^ Voelker, Aaron R .; Gosmann, Jan; Stewart, Terrence C. (2017). Bepaal effektief monsters van vektore en koördinate vanaf die n-sfeer en die n-bal (verslag). Sentrum vir Teoretiese Neurowetenskap. doi : 10.13140/RG.2.2.15829.01767/1 .
  5. ^ Stillwell, John (1993), Classical Topology and Combinatorial Group Theory , Graduate Texts in Mathematics, 72 , Springer, p. 247, ISBN 9780387979700.
  6. ^ Agricola, Ilka ; Bazzoni, Giovanni; Goertsches, Oliver; Konstantis, Panagiotis; Rollenske, Sönke (2018). "Oor die geskiedenis van die Hopf -probleem". Differensiële meetkunde en die toepassings daarvan . 57 : 1–9. arXiv : 1708.01068 . doi : 10.1016/j.difgeo.2017.10.014 . S2CID 119297359 . 
  7. ^ Meshulam, Roy (2001-01-01). "The Clique Complex and Hypergraph Matching". Combinatorica . 21 (1): 89–94. doi : 10.1007/s004930170006 . ISSN 1439-6912 . S2CID 207006642 .  

Verwysings

  • Vlaandere, Harley (1989). Differensiële vorms met toepassings op die fisiese wetenskappe . New York: Dover Publications . ISBN 978-0-486-66169-8.
  • Moura, Eduarda; Henderson, David G. (1996). Ervaar meetkunde: op vliegtuig en sfeer . Prentice Hall . ISBN 978-0-13-373770-7 (Hoofstuk 20: 3-sfere en hiperboliese 3-spasies).CS1 -instandhouding: naskrif ( skakel )
  • Weke, Jeffrey R. (1985). The Shape of Space: hoe om oppervlaktes en driedimensionele spruitstukke te visualiseer . Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-7437-0 (Hoofstuk 14: The Hypersphere).CS1 -instandhouding: naskrif ( skakel )
  • Marsaglia, G. (1972). "Kies 'n punt uit die oppervlak van 'n sfeer". Annale van wiskundige statistiek . 43 (2): 645–646. doi : 10.1214/aoms/1177692644 .
  • Huber, Greg (1982). "Gamma funksie afleiding van n-sfeer volumes". Amer. Wiskunde. Maandeliks . 89 (5): 301–302. doi : 10.2307/2321716 . JSTOR  2321716 . MR  1539933 .
  • Barnea, Nir (1999). "Hipersferiese funksies met arbitrêre permutasionele simmetrie: omgekeerde konstruksie". Fis. Op 'n . 59 (2): 1135–1146. Bibcode : 1999PhRvA..59.1135B . doi : 10.1103/PhysRevA.59.1135 .

Eksterne skakels