Stogastiese proses

In waarskynlikheidsleer en verwante velde, 'n stogastiese ( / s t k æ s t ɪ k / ) of ewekansige proses is 'n wiskundige voorwerp gewoonlik gedefinieer as 'n gesin van ewekansige veranderlikes . Stogastiese prosesse word wyd gebruik as wiskundige modelle van stelsels en verskynsels wat lukraak lyk. Voorbeelde hiervan is die groei van 'n bakteriële populasie, 'n elektriese stroom wat weens termiese geraas wissel, Of die beweging van 'n gas molekule . [1] [4] [5] Stogastiese prosesse het toepassings in baie dissiplines soos biologie , [6] chemie , [7] ekologie , [8] neurowetenskap , [9] fisika , [10] beeldverwerking , seinverwerking , [ 11] beheerteorie , [12] inligtingsteorie , [13] rekenaarwetenskap , [14] kriptografie [15] en telekommunikasie . [16] Verder het skynbaar ewekansige veranderinge in die finansiële markte die uitgebreide gebruik van stogastiese prosesse in finansies gemotiveer . [17] [18] [19]

'N Rekenaarsimulasie van 'n Wiener- of Brown-bewegingsproses op die oppervlak van 'n sfeer. Die Wiener-proses word algemeen beskou as die mees bestudeerde en sentrale stogastiese proses in die waarskynlikheidsteorie. [1] [2] [3]

Toepassings en die bestudering van verskynsels het op hul beurt die voorstel van nuwe stogastiese prosesse geïnspireer. Voorbeelde van sulke stogastiese prosesse sluit in die Wiener-proses of Brown-bewegingsproses [a] wat deur Louis Bachelier gebruik word om prysveranderings op die Paris Bourse te bestudeer , [22] en die Poisson-proses , wat deur AK Erlang gebruik word om die aantal oproepe wat plaasvind te bestudeer in 'n sekere tydperk. [23] Hierdie twee stogastiese prosesse word beskou as die belangrikste en belangrikste in die teorie van stogastiese prosesse, [1] [4] [24] en is herhaaldelik en onafhanklik ontdek, voor en na Bachelier en Erlang, in verskillende omgewings en lande . [22] [25]

Die term ewekansige funksie word ook gebruik om na 'n stogastiese of ewekansige proses te verwys, [26] [27] omdat 'n stogastiese proses ook geïnterpreteer kan word as 'n ewekansige element in 'n funksieruimte . [28] [29] Die terme stogastiese proses en ewekansige proses word deurmekaar gebruik, dikwels met geen spesifieke wiskundige ruimte vir die versameling wat die ewekansige veranderlikes indekseer nie. [28] [30] Maar hierdie twee terme word dikwels gebruik as die ewekansige veranderlikes geïndekseer word deur die heelgetalle of 'n interval van die regte lyn . [5] [30] As die ewekansige veranderlikes geïndekseer word deur die Cartesiese vlak of 'n hoër-dimensionele Euklidiese ruimte , word die versameling ewekansige veranderlikes gewoonlik eerder ' n ewekansige veld genoem . [5] [31] Die waardes van 'n stogastiese proses is nie altyd getalle nie en kan ook vektore of ander wiskundige voorwerpe wees. [5] [29]

Op grond van hul wiskundige eienskappe kan stogastiese prosesse in verskillende kategorieë gegroepeer word, wat willekeurige loop , [32] martingale , [33] Markov-prosesse , [34] Lévy-prosesse , [35] Gaussiese prosesse , [36] ewekansige velde, [ 37] vernuwingsprosesse en vertakkingsprosesse . [38] Die bestudering van stogastiese prosesse gebruik wiskundige kennis en tegnieke uit waarskynlikheid , calculus , lineêre algebra , versamelingsteorie en topologie [39] [40] [41] sowel as vertakkings van wiskundige analise soos werklike analise , meetteorie , Fourier-analise en funksionele analise . [42] [43] [44] Die teorie van stogastiese prosesse word beskou as 'n belangrike bydrae tot die wiskunde [45] en is steeds 'n aktiewe onderwerp vir navorsing om teoretiese redes en toepassings. [46] [47] [48]

'N Stogastiese of ewekansige proses kan gedefinieer word as 'n versameling willekeurige veranderlikes wat deur een of ander wiskundige versameling geïndekseer word, wat beteken dat elke ewekansige veranderlike van die stogastiese proses uniek geassosieer word met 'n element in die versameling. [4] [5] Die versameling wat gebruik word om die ewekansige veranderlikes te indekseer, word die indeksstel genoem . Histories was die indeksversameling 'n deelversameling van die reële lyn , soos die natuurlike getalle , wat die indeksstel die interpretasie van tyd gee. [1] Elke ewekansige veranderlike in die versameling neem waardes uit dieselfde wiskundige ruimte bekend as die staatsruimte . Hierdie toestandsruimte kan byvoorbeeld die heelgetalle, die regte lyn of wees-dimensionele Euklidiese ruimte. [1] [5] ' n Inkrement is die hoeveelheid wat 'n stogastiese proses tussen twee indekswaardes verander, wat dikwels as twee punte in die tyd geïnterpreteer word. [49] [50] ' n Stogastiese proses kan weens die ewekansigheid baie uitkomste hê , en 'n enkele uitkoms van 'n stogastiese proses word onder andere 'n steekproeffunksie of -verwerking genoem . [29] [51]

'N Enkele rekenaar-gesimuleerde steekproeffunksie of realisering , onder andere, van 'n driedimensionele Wiener- of Brown-bewegingsproses vir tyd 0 ≤ t ≤ 2. Die indeksreeks van hierdie stogastiese proses is die nie-negatiewe getalle, terwyl sy toestand ruimte is is 'n driedimensionele Euklidiese ruimte.

Klassifikasies

'N Stogastiese proses kan op verskillende maniere geklassifiseer word, byvoorbeeld deur die toestandsruimte, die indeksreeks of die afhanklikheid van die ewekansige veranderlikes. Een algemene manier van klassifikasie is deur die kardinaliteit van die indeksstel en die toestandsruimte. [52] [53] [54]

As dit as tyd geïnterpreteer word, as die indeksreeks van 'n stogastiese proses 'n eindige of telbare aantal elemente het, soos 'n eindige versameling getalle, die versameling heelgetalle of die natuurlike getalle, word gesê dat die stogastiese proses diskreet is tyd . [55] [56] As die indeksstel 'n interval van die reële lyn is, word gesê dat die tyd aaneenlopend is . Daar word onderskeidelik na die twee tipes stogastiese prosesse verwys as diskrete-tyd- en deurlopende tyd-stogastiese prosesse . [49] [57] [58] Stogastiese prosesse vir diskrete tyd word as makliker bestudeer beskou omdat deurlopende tydprosesse meer gevorderde wiskundige tegnieke en kennis benodig, veral omdat die indeksreeks ontelbaar is. [59] [60] As die indeksstel die heelgetalle of 'n deelversameling daarvan is, kan die stogastiese proses ook 'n ewekansige volgorde genoem word . [56]

As die toestandsruimte die heelgetalle of natuurlike getalle is, word die stogastiese proses 'n diskrete of heelgetal-stogastiese proses genoem . As die toestandsruimte die werklike lyn is, word na die stogastiese proses verwys as 'n werklike stogastiese proses of 'n proses met deurlopende toestandsruimte . As die staatsruimte is-dimensionele Euklidiese ruimte, dan word die stogastiese proses a genoem - dimensionele vektorproses of- vektorproses . [52] [53]

Etimologie

Die woord stogasties in Engels is oorspronklik gebruik as 'n byvoeglike naamwoord met die definisie "met betrekking tot vermoedens", en spruit uit 'n Griekse woord wat beteken "om op 'n punt, raai" te mik, en die Oxford English Dictionary gee die jaar 1662 as sy vroegste voorkoms. . [61] In sy werk oor waarskynlikheid Ars Conjectandi , wat oorspronklik in 1713 in Latyn gepubliseer is, gebruik Jakob Bernoulli die frase "Ars Conjectandi sive Stochastice", wat vertaal is na "die kuns om te gis of stogastiek". [62] Hierdie frase is gebruik, met verwysing na Bernoulli, deur Ladislaus Bortkiewicz [63] wat in 1917 die woord stochastik in die Duits geskryf het met 'n betekenis wat ewekansig beteken. Die term stogastiese proses verskyn die eerste keer in Engels in 'n artikel van Joseph Doob uit 1934 . [61] Vir die term en 'n spesifieke wiskundige definisie het Doob 'n ander artikel uit 1934 aangehaal, waar die term stochastischer Prozeß in die Duits deur Aleksandr Khinchin gebruik is , [64] [65] hoewel die Duitse term vroeër byvoorbeeld deur Andrei Kolmogorov in 1931. [66]

Volgens die Oxford English Dictionary dateer die woord random in Engels met die huidige betekenis daarvan, wat betrekking het op toeval of geluk, vroeg in die 16de eeu, terwyl vroeëre opgetekende gebruike in die 14de eeu begin het as 'n selfstandige naamwoord wat 'impetuosity' beteken, groot spoed, geweld of geweld (in ry, hardloop, slaan, ens.) ". Die woord self kom van 'n Midde-Franse woord wat "spoed, haas" beteken, en dit is waarskynlik afgelei van 'n Franse werkwoord wat beteken "hardloop" of "galop". Die eerste geskrewe verskyning van die term ewekansige proses voorafgaan die stogastiese proses , wat die Oxford English Dictionary ook as 'n sinoniem gee, en is gebruik in 'n artikel van Francis Edgeworth wat in 1888 gepubliseer is. [67]

Terminologie

Die definisie van 'n stogastiese proses wissel, [68] maar 'n stogastiese proses word tradisioneel gedefinieer as 'n versameling ewekansige veranderlikes wat deur een of ander versameling geïndekseer word. [69] [70] Die terme ewekansige proses en stogastiese proses word as sinonieme beskou en word uitruilbaar gebruik, sonder dat die indeksstel presies gespesifiseer word. [28] [30] [31] [71] [72] [73] Beide "versameling", [29] [71] of "familie" word gebruik [4] [74] terwyl dit in plaas van "indeksstel" soms die terme "parameterset" [29] of "parameterruimte" [31] word gebruik.

Die term ewekansige funksie word ook gebruik om na 'n stogastiese of ewekansige proses te verwys, [5] [75] [76] maar soms word dit slegs gebruik as die stogastiese proses werklike waardes neem. [29] [74] Hierdie term word ook gebruik as die indeksstelle ander wiskundige ruimtes is as die regte lyn, [5] [77] terwyl die terme stogastiese proses en ewekansige proses gewoonlik gebruik word as die indeksstel as tyd geïnterpreteer word, [5] [77] [78] en ander terme word gebruik soos 'n ewekansige veld as die indeksstel is-dimensionele Euklidiese ruimte of 'n spruitstuk . [5] [29] [31]

Notasie

'N Stogastiese proses kan onder andere aangedui word deur , [57] , [70] [79] of bloot soos of , hoewel word beskou as 'n misbruik van funksienotasie . [80] Byvoorbeeld, of word gebruik om na die ewekansige veranderlike met die indeks te verwys , en nie die hele stogastiese proses nie. [79] As die indeksstel is, dan kan 'n mens skryf, byvoorbeeld, die stogastiese proses aan te dui. [30]

Bernoulli-proses

Een van die eenvoudigste stogastiese prosesse is die Bernoulli-proses , [81], wat 'n reeks onafhanklike en identies verspreide (iid) ewekansige veranderlikes is, waar elke ewekansige veranderlike die waarde een of nul neem, sê een met waarskynlikheid en nul met waarskynlikheid . Hierdie proses kan gekoppel word aan die herhaaldelike omkeer van 'n muntstuk, waar die waarskynlikheid om 'n kop te kry, isen die waarde daarvan is een, terwyl die waarde van 'n stert nul is. [82] Met ander woorde, 'n Bernoulli-proses is 'n opeenvolging van ewekansige Bernoulli-veranderlikes, [83] waar elke muntstuk 'n voorbeeld is van 'n Bernoulli-verhoor . [84]

Ewekansige loop

Ewekansige vlakke is stogastiese prosesse wat gewoonlik gedefinieer as somme IID toevalsveranderlikes of ewekansige vektore in Euklidiese ruimte, sodat hulle is prosesse wat verandering in diskrete tyd. [85] [86] [87] [88] [89] Maar sommige gebruik die term ook om te verwys na prosesse wat verander in deurlopende tyd, [90] veral die Wiener-proses wat in finansies gebruik word, wat tot 'n mate van verwarring gelei het, wat tot gevolg gehad het in sy kritiek. [91] Daar is ook verskillende soorte willekeurige wandelinge, wat gedefinieer word sodat hul toestandsruimtes ander wiskundige voorwerpe kan wees, soos tralies en groepe, en oor die algemeen word dit baie bestudeer en het baie toepassings in verskillende vakgebiede. [90] [92]

'N Klassieke voorbeeld van 'n ewekansige wandeling staan ​​bekend as die eenvoudige willekeurige loop , wat 'n stogastiese proses is in diskrete tyd met die heelgetalle as die toestandsruimte, en is gebaseer op 'n Bernoulli-proses, waar elke Bernoulli-veranderlike óf die waarde positief óf negatiewe een. Met ander woorde, die eenvoudige willekeurige loop vind op die heelgetalle plaas, en die waarde daarvan styg met waarskynlikheid, sê,, of neem dit waarskynlik toe met een af , dus is die indeksreeks van hierdie ewekansige loop die natuurlike getalle, terwyl sy toestandsruimte die heelgetalle is. As die, hierdie ewekansige loop word 'n simmetriese ewekansige loop genoem. [93] [94]

Wiener-proses

Die Wiener-proses is 'n stogastiese proses met stilstaande en onafhanklike inkremente wat normaalweg versprei word op grond van die grootte van die inkremente. [2] [95] Die Wiener-proses is vernoem na Norbert Wiener , wat sy wiskundige bestaan ​​bewys het, maar die proses word ook die Brown-bewegingsproses of net Brown-beweging genoem as gevolg van sy historiese verband as model vir die Brown-beweging in vloeistowwe. [96] [97] [98]

Die verwesenliking van Wiener-prosesse (of Brown-bewegingsprosesse) met drift ( blou ) en sonder drift ( rooi ).

Die Wiener-proses, wat 'n sentrale rol speel in die teorie van waarskynlikheid, word dikwels beskou as die belangrikste en bestudeerde stogastiese proses, met verbintenisse met ander stogastiese prosesse. [1] [2] [3] [99] [100] [101] [102] Sy indeksstel en toestandsruimte is onderskeidelik die nie-negatiewe getalle en reële getalle, dus het dit sowel deurlopende indeksstel as ruimte. [103] Maar die proses kan meer algemeen gedefinieer word, sodat die toestand daarvan kan wees-dimensionele Euklidiese ruimte. [92] [100] [104] As die gemiddelde van enige toename nul is, word gesê dat die resulterende Wiener- of Brown-bewegingsproses geen drywing het nie. As die gemiddelde van die toename vir twee punte in die tyd gelyk is aan die tydsverskil vermenigvuldig met een of ander konstante, wat 'n reële getal is, dan word gesê dat die gevolglike stogastiese proses dryf . [105] [106] [107]

Byna seker is 'n voorbeeldpad van 'n Wiener-proses oral aanhoudend, maar nêrens anders nie . Dit kan beskou word as 'n deurlopende weergawe van die eenvoudige willekeurige loop. [50] [106] Die proses ontstaan ​​namate die wiskundige limiet van ander stogastiese prosesse soos sekere ewekansige wandelings herskaal word, [108] [109] wat die onderwerp is van Donsker se stelling of onveranderlikheidsbeginsel, ook bekend as die funksionele sentrale limietstelling. [110] [111] [112]

Die Wiener-proses is 'n lid van 'n paar belangrike families van stogastiese prosesse, insluitend Markov-prosesse, Lévy-prosesse en Gaussiese prosesse. [2] [50] Die proses het ook baie toepassings en is die belangrikste stogastiese proses wat in stogastiese calculus gebruik word. [113] [114] Dit speel 'n sentrale rol in kwantitatiewe finansiering, [115] [116] waar dit byvoorbeeld in die Black – Scholes – Merton-model gebruik word. [117] Die proses word ook op verskillende terreine, insluitend die meerderheid natuurwetenskappe, sowel as sommige takke van sosiale wetenskappe gebruik, as 'n wiskundige model vir verskillende ewekansige verskynsels. [3] [118] [119]

Poisson-proses

Die Poisson-proses is 'n stogastiese proses met verskillende vorme en definisies. [120] [121] Dit kan gedefinieer word as 'n telproses, wat 'n stogastiese proses is wat die ewekansige aantal punte of gebeure tot 'n geruime tyd voorstel. Die aantal punte van die proses wat in die interval van nul tot 'n gegewe tyd geleë is, is 'n ewekansige Poisson-veranderlike wat afhang van daardie tyd en een of ander parameter. Die proses het die natuurlike getalle as sy toestandsruimte en die nie-negatiewe getalle as die indeks. Hierdie proses word ook die Poisson-telproses genoem, aangesien dit as 'n voorbeeld van 'n telproses geïnterpreteer kan word. [120]

As 'n Poisson-proses met 'n enkele positiewe konstante gedefinieer word, word die proses 'n homogene Poisson-proses genoem. [120] [122] Die homogene Poisson-proses is 'n lid van belangrike klasse stogastiese prosesse soos Markov-prosesse en Lévy-prosesse. [50]

Die homogene Poisson-proses kan op verskillende maniere gedefinieer en veralgemeen word. Dit kan sodanig gedefinieer word dat die indeksstel die regte lyn is, en hierdie stogastiese proses word ook die stilstaande Poisson-proses genoem. [123] [124] As die parameterkonstante van die Poisson-proses vervang word deur een of ander nie-negatiewe integreerbare funksie vanword die resulterende proses 'n inhomogene of nie-homogene Poisson-proses genoem, waar die gemiddelde digtheid van punte van die proses nie meer konstant is nie. [125] Die Poisson-proses, wat dien as 'n fundamentele proses in die toustrydteorie, is 'n belangrike proses vir wiskundige modelle, waar dit toepassings vind vir modelle van gebeure wat lukraak in sekere tydvensters voorkom. [126] [127]

Gedefinieer op die regte lyn, kan die Poisson-proses geïnterpreteer word as 'n stogastiese proses, [50] [128] onder andere ewekansige voorwerpe. [129] [130] Maar dan kan dit op die-dimensionele Euklidiese ruimte of ander wiskundige ruimtes, [131] waar dit dikwels geïnterpreteer word as 'n ewekansige versameling of 'n ewekansige telmaat, in plaas van 'n stogastiese proses. [129] [130] In hierdie omgewing is die Poisson-proses, ook die Poisson-puntproses genoem, een van die belangrikste voorwerpe in die waarskynlikheidsteorie, sowel om toepassings as teoretiese redes. [23] [132] Maar daar is opgemerk dat die Poisson-proses nie soveel aandag geniet as wat dit moet nie, deels omdat dit dikwels net op die regte lyn beskou word en nie in ander wiskundige ruimtes nie. [132] [133]

Stogastiese proses

'N Stogastiese proses word gedefinieer as 'n versameling willekeurige veranderlikes wat in 'n algemene waarskynlikheidsruimte gedefinieer word , waar is 'n voorbeeldruimte , is 'n - algebra , enis 'n waarskynlikheidsmaatstaf ; en die ewekansige veranderlikes, geïndekseer deur een of ander versameling, neem almal waardes in dieselfde wiskundige ruimte , wat meetbaar moet wees met betrekking tot sommige-algebra . [29]

Met ander woorde, vir 'n gegewe waarskynlikheidsruimte en 'n meetbare ruimte , 'n stogastiese proses is 'n versameling van gewaardeerde ewekansige veranderlikes, wat geskryf kan word as: [81]

Histories, in baie probleme uit die natuurwetenskappe 'n punt het die betekenis van tyd gehad, so is 'n ewekansige veranderlike wat 'n waarde voorstel wat destyds waargeneem word . [134] ' n Stogastiese proses kan ook geskryf word as om te weerspieël dat dit eintlik 'n funksie van twee veranderlikes is, en . [29] [135]

Daar is ander maniere om 'n stogastiese proses te oorweeg, met bogenoemde definisie as die tradisionele. [69] [70] ' n Stogastiese proses kan byvoorbeeld geïnterpreteer word as 'n-waardige ewekansige veranderlike, waar is die ruimte van al die moontlike gewaardeerde funksies vandaardie kaart vanaf die stel die ruimte in . [28] [69]

Indeks stel

Die stel word die indeksstel [4] [52] of parameterset [29] [136] van die stogastiese proses genoem. Dikwels is hierdie versameling 'n deelversameling van die regte lyn , soos die natuurlike getalle of 'n interval, wat die versameling geedie interpretasie van tyd. [1] Benewens hierdie stelle, die indeksversamelingkan 'n ander versameling wees met 'n totale orde of 'n meer algemene versameling, [1] [55] soos die Cartesiese vlak of -dimensionele Euklidiese ruimte, waar 'n element kan 'n punt in die ruimte voorstel. [49] [137] Dit gesê, baie resultate en stellings is slegs moontlik vir stogastiese prosesse met 'n totaal geordende indeksreeks. [138]

Staatsruimte

Die wiskundige ruimte van 'n stogastiese proses staan bekend as sy toestand ruimte . Hierdie wiskundige ruimte kan gedefinieer word met behulp van heelgetalle , reële lyne ,-dimensionele Euklidiese ruimtes , komplekse vlakke of meer abstrakte wiskundige ruimtes. Die toestandsruimte word gedefinieer deur elemente te weerspieël wat die verskillende waardes weerspieël wat die stogastiese proses kan inneem. [1] [5] [29] [52] [57]

Voorbeeldfunksie

'N Voorbeeldfunksie is 'n enkele uitkoms van 'n stogastiese proses, dus word dit gevorm deur 'n enkele moontlike waarde te neem van elke ewekansige veranderlike van die stogastiese proses. [29] [139] Meer presies, as is 'n stogastiese proses, dan vir enige punt , die kartering

word 'n steekproeffunksie, 'n verwesenliking genoem , of veral wanneerword geïnterpreteer as tyd, 'n voorbeeld van die stogastiese proses. [51] Dit beteken dat vir 'n vaste, daar bestaan ​​'n voorbeeldfunksie wat die indeksstel karteer na die staatsruimte . [29] Ander name vir 'n voorbeeldfunksie van 'n stogastiese proses sluit trajek , baanfunksie [140] of pad in . [141]

Inkrement

'N Toename van 'n stogastiese proses is die verskil tussen twee ewekansige veranderlikes van dieselfde stogastiese proses. Vir 'n stogastiese proses met 'n indeksstel wat as tyd geïnterpreteer kan word, is 'n toename hoeveel die stogastiese proses oor 'n sekere tydperk verander. Byvoorbeeld, as is 'n stogastiese proses met staatsruimte en indeks stel , dan vir enige twee nie-negatiewe getalle en sodat , die verskil is 'n gewaardeerde ewekansige veranderlike bekend as 'n toename. [49] [50] As u belangstel in die inkremente, dikwels die staatsruimte is die regte lyn of die natuurlike getalle, maar dit kan wees -dimensionele Euklidiese ruimte of meer abstrakte ruimtes soos Banach-ruimtes . [50]

Verdere definisies

Regte

Vir 'n stogastiese proses gedefinieer op die waarskynlikheidsruimte , die wet van stogastiese prosesword gedefinieer as die beeldmaat :

waar is 'n waarskynlikheidsmaatstaf, die simbool dui op funksiesamestelling en is die voorbeeld van die meetbare funksie of, ekwivalent, die gewaardeerde ewekansige veranderlike , waar is die ruimte van al die moontlike gewaardeerde funksies van , dus is die wet van 'n stogastiese proses 'n waarskynlikheidsmaatstaf. [28] [69] [142] [143]

Vir 'n meetbare onderstel van , die voorbeeld van gee

so die wet van a kan geskryf word as: [29]

Die wet van 'n stogastiese proses of 'n ewekansige veranderlike word ook die waarskynlikheidswet , waarskynlikheidsverdeling of die verdeling genoem . [134] [142] [144] [145] [146]

Eindige-dimensionele waarskynlikheidsverdelings

Vir 'n stogastiese proses met die wet , sy eindige-dimensionele verspreiding vir word gedefinieer as:

Hierdie maatreël is die gesamentlike verdeling van die ewekansige vektor ; dit kan beskou word as 'n 'projeksie' van die wet op 'n eindige deelversameling van . [28] [147]

Vir enige meetbare deelversameling van die -vou Cartesiese mag , die eindige-dimensionele verdeling van 'n stogastiese proses kan geskryf word as: [29]

Die eindige-dimensionele verdeling van 'n stogastiese proses voldoen aan twee wiskundige toestande, bekend as konsekwentheidstoestande. [58]

Stationariteit

Stationariteit is 'n wiskundige eienskap wat 'n stogastiese proses het wanneer al die ewekansige veranderlikes van daardie stogastiese proses identies versprei word. Met ander woorde, as is 'n stilstaande stogastiese proses, dan vir enige die ewekansige veranderlike het dieselfde verspreiding, wat beteken dat vir elke stel indeks stel waardes , die ooreenstemmende ewekansige veranderlikes

almal het dieselfde waarskynlikheidsverdeling . Die indeksstel van 'n stilstaande stogastiese proses word gewoonlik as tyd geïnterpreteer, dus dit kan die heelgetalle of die regte lyn wees. [148] [149] Maar die konsep van stationariteit bestaan ​​ook vir puntprosesse en ewekansige velde, waar die indeksstel nie as tyd geïnterpreteer word nie. [148] [150] [151]

Wanneer die indeks stel as tyd geïnterpreteer kan word, word gesê dat 'n stogastiese proses stilstaan ​​as die einddimensionele verdelings onveranderlik is onder vertalings van tyd. Hierdie tipe stogastiese proses kan gebruik word om 'n fisiese stelsel wat in bestendige toestand is, maar wat ewekansige skommelinge ervaar, te beskryf. [148] Die intuïsie agter stationariteit is dat die verspreiding van die stilstaande stogastiese proses mettertyd dieselfde bly. [152] ' n Reeks willekeurige veranderlikes vorm slegs 'n stilstaande stogastiese proses as die ewekansige veranderlikes identies versprei is. [148]

Daar word soms gesê dat 'n stogastiese proses met die bogenoemde definisie van stationariteit streng stilstaan, maar daar is ook ander vorme van stationariteit. Een voorbeeld is wanneer 'n diskrete tyd of deurlopende tyd stogastiese proses is word gesê dat dit in wye sin stilstaan, dan is die proses het 'n eindige tweede oomblik vir almal en die kovariansie van die twee ewekansige veranderlikes en hang net van die nommer af vir alle . [152] [153] Khinchin het die verwante konsep van stationariteit in die wye sin bekendgestel , wat ander name bevat, insluitend kovariansie-stationariteit of stationariteit in die breë sin . [153] [154]

Filtrasie

'N Filtrasie is 'n toenemende reeks sigma-algebras wat gedefinieër word in verhouding tot 'n waarskynlikheidsruimte en 'n indeksversameling met 'n totale ordeverhouding, soos in die geval dat die indeksversameling 'n deelversameling van die reële getalle is. Meer formeel, as 'n indeks stel met 'n totale orde in 'n stogastiese proses, dan 'n filtrasie, op 'n waarskynlikheidsruimte is 'n familie van sigma-algebras sodanig dat vir alle , waar en dui die totale volgorde van die indeksstel aan . [52] Met die konsep van filtrasie is dit moontlik om die hoeveelheid inligting wat in 'n stogastiese proses vervat is, te bestudeer by , wat as tyd geïnterpreteer kan word . [52] [155] Die intuïsie agter 'n filtrasie is dit as tyd slaag, meer en meer inligting oor is bekend of beskikbaar, wat vasgelê word in , wat fyner en fyner afskortings van . [156] [157]

Wysiging

'N Wysiging van 'n stogastiese proses is 'n ander stogastiese proses, wat nou verband hou met die oorspronklike stogastiese proses. Meer presies, 'n stogastiese proses dieselfde indeks stel , stel ruimte , en waarskynlikheidsruimte as nog 'n stogastiese proses word gesê dat dit 'n wysiging is van as dit vir almal is die volgende

hou. Twee stogastiese prosesse wat mekaar verander, het dieselfde einddimensionele wet [158] en daar word gesê dat hulle stogasties ekwivalent of ekwivalent is . [159]

In plaas van wysiging word die term weergawe ook gebruik, [150] [160] [161] [162] maar sommige outeurs gebruik die term weergawe wanneer twee stogastiese prosesse dieselfde eindige-dimensionele verspreidings het, maar dit kan volgens verskillende waarskynlikheid gedefinieer word. ruimtes, dus twee prosesse wat mekaar wysig, is ook weergawes van mekaar, in laasgenoemde sin, maar nie omgekeerd nie. [163] [142]

As 'n deurlopende werklike stogastiese proses aan sekere momentomstandighede in sy inkremente voldoen, dan sê die Kolmogorov-kontinuïteitsstelling dat daar 'n wysiging van hierdie proses bestaan ​​wat deurlopende steekproefbane het, en dat die stogastiese proses dus deurlopend verander of weergawe. [161] [162] [164] Die stelling kan ook veralgemeen word na willekeurige velde sodat die indeksstel-dimensionele Euklidiese ruimte [165] sowel as stogastiese prosesse met metrieke ruimtes as hul toestandsruimtes. [166]

Onderskeibaar

Twee stogastiese prosesse en gedefinieer op dieselfde waarskynlikheidsruimte met dieselfde indeksstel en stel ruimte word gesê dat dit nie van mekaar onderskei kan word as die volgende nie

hou. [142] [158] As twee en is veranderings van mekaar en is dit dan byna seker aanhoudend en is nie van mekaar te onderskei nie. [167]

Skeidbaarheid

Skeidbaarheid is 'n eienskap van 'n stogastiese proses gebaseer op die indeks wat gestel word in verhouding tot die waarskynlikheidsmaatstaf. Die eienskap word aangeneem sodat funksionele van stogastiese prosesse of ewekansige velde met ontelbare indeksstelle willekeurige veranderlikes kan vorm. Om 'n stogastiese proses skeibaar te kan maak, moet die indeksstel, benewens ander toestande, 'n skeibare ruimte wees , [b] wat beteken dat die indeksstel 'n digte telbare deelversameling het. [150] [168]

Meer presies, 'n werklike waardevolle deurlopende stogastiese proses met 'n waarskynlikheidsruimte is skeibaar as die indeks daarvan ingestel is het 'n digte telbare onderstel en daar is 'n stel van waarskynlikheid nul, so , sodanig dat vir elke oop stel en elke geslote stel , die twee gebeure en verskil hoogstens van mekaar op 'n subversameling van . [169] [170] [171] Die definisie van skeibaarheid [c] kan ook vermeld word vir ander indeksstelle en toestandsruimtes, [174] soos in die geval van ewekansige velde, waar die indeksstel sowel as die toestandsruimte Kan wees-dimensionele Euklidiese ruimte. [31] [150]

Die konsep van skeidbaarheid van 'n stogastiese proses is bekendgestel deur Joseph Doob ,. [168] Die onderliggende idee van skeibaarheid is om 'n telbare stel punte van die indeksstel die eienskappe van die stogastiese proses te laat bepaal. [172] Enige stogastiese proses met 'n telbare indeksreeks voldoen reeds aan die skeidingsvoorwaardes, dus diskrete tydstogastiese prosesse is altyd skeibaar. [175] ' n Stelling van Doob, soms bekend as die skeibare stelling van Doob, sê dat 'n reële waarde van deurlopende stogastiese proses 'n skeibare wysiging het. [168] [170] [176] Versies van hierdie stelling bestaan ​​ook vir meer algemene stogastiese prosesse met indeksstelle en toestandsruimtes buiten die werklike lyn. [136]

Onafhanklikheid

Twee stogastiese prosesse en gedefinieer op dieselfde waarskynlikheidsruimte met dieselfde indeksstel word gesê dat dit onafhanklik is as dit vir almal is en vir elke keuse van tydperke , die ewekansige vektore en onafhanklik is. [177] : bl. 515

Ongekorreleerdheid

Twee stogastiese prosesse en word ongekorreleerd genoem as hulle dwarsoorsaamheid hetis nul vir alle tye. [178] : bl. 142 Formeel:

.

Onafhanklikheid impliseer ongekorreleerdheid

As twee stogastiese prosesse en onafhanklik is, dan is hulle ook nie gekorreleer nie. [178] : bl. 151

Ortogonaliteit

Twee stogastiese prosesse en word ortogonaal genoem as hulle kruiskorrelasie isis nul vir alle tye. [178] : bl. 142 Formeel:

.

Skorokhod-ruimte

'N Skorokhod-ruimte , ook geskryf as Skorohod-ruimte , is 'n wiskundige ruimte van al die funksies wat regs-deurlopend is met linkergrense , gedefinieer op 'n interval van die werklike lyn soos of , en neem waardes op die regte lyn of op een of ander metrieke ruimte. [179] [180] [181] Sulke funksies staan ​​bekend as càdlàg- of cadlagfunksies, gebaseer op die akroniem van die Franse frase continue à droite, limite à gauche . [179] [182] ' n Skorokhod-funksieruimte, bekendgestel deur Anatoliy Skorokhod , [181] word dikwels met die letter aangedui., [179] [180] [181] [182] dus word die funksieruimte ook ruimte genoem. [179] [183] [184] Die notasie van hierdie funksieruimte kan ook die interval insluit waarop al die càdlàg-funksies gedefinieër is, byvoorbeelddui die ruimte aan van càdlàg-funksies wat op die eenheidsinterval gedefinieer is . [182] [184] [185]

Skorokhod-funksieruimtes word gereeld in die teorie van stogastiese prosesse gebruik omdat daar dikwels aanvaar word dat die steekproeffunksies van deurlopende stogastiese prosesse tot 'n Skorokhod-ruimte behoort. [181] [183] Sulke ruimtes bevat deurlopende funksies, wat ooreenstem met voorbeeldfunksies van die Wiener-proses. Maar die ruimte het ook funksies met diskontinuïteite, wat beteken dat die voorbeeldfunksies van stogastiese prosesse met spronge, soos die Poisson-proses (op die regte lyn), ook lede van hierdie ruimte is. [184] [186]

Gereeldheid

In die konteks van wiskundige konstruksie van stogastiese prosesse, word die term reëlmaat gebruik wanneer sekere voorwaardes vir 'n stogastiese proses bespreek en aanvaar word om moontlike konstruksiekwessies op te los. [187] [188] Om byvoorbeeld stogastiese prosesse met ontelbare indeksstelle te bestudeer, word aanvaar dat die stogastiese proses voldoen aan 'n soort reëlmatigheidstoestand, soos dat die steekproeffunksies deurlopend is. [189] [190]

Markov prosesse en kettings

Markov-prosesse is stogastiese prosesse, tradisioneel in diskrete of deurlopende tyd , met die Markov-eienskap, wat beteken dat die volgende waarde van die Markov-proses afhang van die huidige waarde, maar dit is voorwaardelik onafhanklik van die vorige waardes van die stogastiese proses. Met ander woorde, die gedrag van die proses in die toekoms is stogasties onafhanklik van sy gedrag in die verlede, gegewe die huidige stand van die proses. [191] [192]

Die Brownse bewegingsproses en die Poisson-proses (in een dimensie) is albei voorbeelde van Markov-prosesse [193] in aaneenlopende tyd, terwyl lukrake loop op die heelgetalle en die verwoestingsprobleem van die dobbelaar voorbeelde is van Markov-prosesse in diskrete tyd. [194] [195]

'N Markov-ketting is 'n tipe Markov-proses met afsonderlike toestandsruimte of afsonderlike indeksreeks (wat dikwels tyd voorstel), maar die presiese definisie van 'n Markov-ketting wissel. [196] Dit is byvoorbeeld algemeen om 'n Markov-ketting te definieer as 'n Markov-proses in afsonderlike of deurlopende tyd met 'n telbare toestandsruimte (dus ongeag die aard van tyd), [197] [198] [199] [200 ] maar dit was ook algemeen om 'n Markov-ketting te definieer as diskrete tyd in telbare of deurlopende toestandsruimte (dus ongeag die staatsruimte). [196] Daar is aangevoer dat die eerste definisie van 'n Markov-ketting, waar dit afsonderlike tyd het, nou geneig is om te gebruik, ondanks die tweede definisie wat deur navorsers soos Joseph Doob en Kai Lai Chung gebruik is . [201]

Markov-prosesse vorm 'n belangrike klas stogastiese prosesse en kan op baie terreine toegepas word. [40] [202] Hulle is byvoorbeeld die basis vir 'n algemene stogastiese simulasiemetode wat bekend staan ​​as die Markov-ketting Monte Carlo , wat gebruik word om ewekansige voorwerpe met spesifieke waarskynlikheidsverspreidings te simuleer, en dit in Bayesiese statistieke van toepassing gevind het . [203] [204]

Die konsep van die Markov-eiendom was oorspronklik vir stogastiese prosesse in deurlopende en diskrete tyd, maar die eienskap is aangepas vir ander indeksstelle soos -dimensionele Euklidiese ruimte, wat lei tot versamelings van ewekansige veranderlikes wat bekend staan ​​as Markov ewekansige velde. [205] [206] [207]

Martingale

'N Martingale is 'n diskrete tyd- of deurlopende tydstogastiese proses met die eienskap dat, op elke oomblik, gegewe die huidige waarde en al die vorige waardes van die proses, die voorwaardelike verwagting van elke toekomstige waarde gelyk is aan die huidige waarde. As hierdie eienskap op diskrete tyd vir die volgende waarde geld, geld dit vir alle toekomstige waardes. Die presiese wiskundige definisie van 'n martingale vereis twee ander toestande, tesame met die wiskundige konsep van 'n filtrasie, wat verband hou met die intuïsie om die beskikbare inligting te verhoog namate die tyd verstryk. Martingale word gewoonlik gedefinieer as reële waarde, [208] [209] [155], maar hulle kan ook kompleksgewaardeer word [210] of selfs meer algemeen. [211]

'N Simmetriese ewekansige loop en 'n Wiener-proses (met geen drywing) is albei voorbeelde van onderskeidelik martingale in diskrete en deurlopende tyd. [208] [209] Vir 'n reeks van onafhanklike en identies verdeelde stogastiese veranderlikes met nul gemiddelde, die stogastiese proses gevorm uit die opeenvolgende gedeeltelike somme is 'n diskrete tyd martingale. [212] In hierdie aspek veralgemeer diskrete martingale die idee van gedeeltelike somme van onafhanklike ewekansige veranderlikes. [213]

Martingale kan ook uit stogastiese prosesse geskep word deur toepaslike transformasies toe te pas, wat die geval is vir die homogene Poisson-proses (op die regte lyn), wat lei tot 'n martingale wat die kompenseerde Poisson-proses genoem word . [209] Martingale kan ook uit ander martingale gebou word. [212] Daar is byvoorbeeld martingale wat gebaseer is op die martingale die Wiener-proses, wat deurlopende martingale vorm. [208] [214]

Martingales formaliseer wiskundig die idee van 'n billike spel, [215], en hulle is oorspronklik ontwikkel om aan te toon dat dit nie moontlik is om 'n regverdige spel te wen nie. [216] Maar nou word dit op baie waarskynlike terreine gebruik, wat een van die belangrikste redes is om dit te bestudeer. [155] [216] [217] Baie waarskynlike probleme is opgelos deur 'n martingaal in die probleem te vind en dit te bestudeer. [218] Martingale sal konvergeer, gegewe sekere omstandighede op hul oomblikke, sodat hulle dikwels gebruik word om konvergensieresultate te verkry, hoofsaaklik as gevolg van martingale konvergensiestellings . [213] [219] [220]

Martingales het baie toepassings in statistieke, maar daar is opgemerk dat die gebruik en toepassing daarvan nie so wydverspreid is as wat dit op die gebied van statistieke kan wees nie, veral statistiese afleiding. [221] Hulle het toepassings gevind in gebiede in die waarskynlikheidsteorie soos toustrydteorie en palmrekening [222] en ander velde soos ekonomie [223] en finansies. [18]

Lévy-proses

Lévy-prosesse is soorte stogastiese prosesse wat beskou kan word as veralgemenings van ewekansige loop in aaneenlopende tyd. [50] [224] Hierdie prosesse het baie toepassings op gebiede soos finansies, vloeistofmeganika, fisika en biologie. [225] [226] Die belangrikste kenmerkende kenmerke van hierdie prosesse is hul stasionariteit en onafhanklikheidseienskappe, en dit staan ​​bekend as prosesse met stilstaande en onafhanklike inkremente . Met ander woorde 'n stogastiese proses is 'n Lévy-proses as dit vir nie-negatiewe getalle, , die ooreenstemmende inkremente

almal onafhanklik van mekaar is, en die verspreiding van elke toename hang net af van die tydsverskil. [50]

'N Lévy-proses kan sodanig gedefinieer word dat die toestandsruimte een of ander abstrakte wiskundige ruimte is, soos 'n Banach-ruimte , maar die prosesse word dikwels gedefinieer sodat dit waardes in die Euklidiese ruimte inneem. Die indeksstel is die nie-negatiewe getalle, dus, wat die interpretasie van tyd gee. Belangrike stogastiese prosesse soos die Wiener-proses, die homogene Poisson-proses (in een dimensie) en ondergeskiktes is alles Lévy-prosesse. [50] [224]

Ewekansige veld

'N Ewekansige veld is 'n versameling ewekansige veranderlikes geïndekseer deur a -dimensionele Euklidiese ruimte of 'n menigte manifold. In die algemeen kan 'n ewekansige veld beskou word as 'n voorbeeld van 'n stogastiese of ewekansige proses, waar die indeksstel nie noodwendig 'n subversameling van die werklike lyn is nie. [31] Maar daar bestaan ​​'n konvensie dat 'n geïndekseerde versameling ewekansige veranderlikes 'n ewekansige veld genoem word wanneer die indeks twee of meer dimensies het. [5] [29] [227] As die spesifieke definisie van 'n stogastiese proses vereis dat die indeksstel 'n deelversameling van die werklike lyn is, dan kan die ewekansige veld beskou word as 'n veralgemening van die stogastiese proses. [228]

Puntproses

'N Puntproses is 'n versameling punte wat lukraak op 'n wiskundige ruimte geleë is, soos die regte lyn -dimensionele Euklidiese ruimte, of meer abstrakte ruimtes. Soms is die term punt proses is nie verkies word, as histories die woord proses aangedui 'n evolusie van 'n paar stelsel in tyd, so 'n punt proses ook 'n genoem ewekansige punt veld . [229] Daar is verskillende interpretasies van 'n puntproses, soos 'n ewekansige telmaat of 'n ewekansige versameling. [230] [231] Sommige outeurs beskou 'n puntproses en stogastiese proses as twee verskillende voorwerpe, sodat 'n puntproses 'n ewekansige voorwerp is wat ontstaan ​​uit of geassosieer word met 'n stogastiese proses, [232] [233] hoewel dit opgemerk is dat die verskil tussen puntprosesse en stogastiese prosesse nie duidelik is nie. [233]

Ander outeurs beskou 'n puntproses as 'n stogastiese proses, waar die proses geïndekseer word deur versamelings van die onderliggende ruimte [d] waarop dit gedefinieer word, soos die regte lyn of-dimensionele Euklidiese ruimte. [236] [237] Ander stogastiese prosesse soos vernuwings- en telprosesse word bestudeer in die teorie van puntprosesse. [238] [233]

Vroeë waarskynlikheidsteorie

Waarskynlikheidsteorie het sy oorsprong in toevallige speletjies, wat 'n lang geskiedenis het, met sommige speletjies wat duisende jare gelede gespeel is, [239] [240], maar daar is baie min ontledings gedoen oor die waarskynlikheid. [239] [241] Die jaar 1654 word dikwels beskou as die geboorte van die waarskynlikheidsteorie toe die Franse wiskundiges Pierre Fermat en Blaise Pascal 'n skriftelike korrespondensie oor waarskynlikheid gehad het, gemotiveer deur 'n dobbelprobleem . [239] [242] [243] Maar daar is vroeër wiskundige werk gedoen oor die waarskynlikheid van dobbelspeletjies soos Liber de Ludo Aleae deur Gerolamo Cardano , geskryf in die 16de eeu, maar later in 1663 postuum gepubliseer. [239] [244]

Na Cardano het Jakob Bernoulli [e] Ars Conjectandi geskryf , wat beskou word as 'n belangrike gebeurtenis in die geskiedenis van die waarskynlikheidsteorie. [239] Bernoulli se boek is in 1713 ook postuum gepubliseer en het baie wiskundiges geïnspireer om waarskynlikheid te bestudeer. [239] [246] [247] Maar ondanks sommige bekende wiskundiges wat bydra tot die waarskynlikheidsteorie, soos Pierre-Simon Laplace , Abraham de Moivre , Carl Gauss , Siméon Poisson en Pafnuty Chebyshev , [248] [249] die grootste deel van die wiskundige gemeenskap [f] het die waarskynlikheidsteorie eers in die 20ste eeu as deel van wiskunde beskou. [248] [250] [251] [252]

Statistiese meganika

In die fisiese wetenskappe het wetenskaplikes in die 19de eeu die dissipline van statistiese meganika ontwikkel , waar fisiese stelsels, soos houers gevul met gasse, wiskundig beskou of behandel kan word as versameling van baie bewegende deeltjies. Alhoewel sommige wetenskaplikes, soos Rudolf Clausius , gepoog het om ewekansigheid in die statistiese fisika in te werk, het die meeste van die werk min of geen willekeur gehad nie. [253] [254] Dit het in 1859 verander toe James Clerk Maxwell beduidend bygedra het tot die veld, meer spesifiek, tot die kinetiese teorie van gasse deur werk aan te bied waar hy aangeneem het dat die gasdeeltjies in ewekansige rigtings teen willekeurige snelhede beweeg. [255] [256] Die kinetiese teorie oor gasse en statistiese fisika word in die tweede helfte van die 19de eeu ontwikkel, met werk wat hoofsaaklik deur Clausius, Ludwig Boltzmann en Josiah Gibbs gedoen is , wat later 'n invloed op Albert Einstein sou hê . se wiskundige model vir Brownse beweging . [257]

Meet teorie en waarskynlikheidsteorie

Op die Internasionale Kongres vir Wiskundiges in Parys in 1900 het David Hilbert 'n lys van wiskundige probleme aangebied , waar sy sesde probleem gevra het vir 'n wiskundige behandeling van fisika en waarskynlikheid wat aksiomas insluit . [249] Rond die begin van die 20ste eeu het wiskundiges maatteorie ontwikkel, 'n tak van wiskunde vir die bestudering van integrale van wiskundige funksies, waar twee van die stigters Franse wiskundiges was, Henri Lebesgue en Émile Borel . In 1925 publiseer ' n ander Franse wiskundige Paul Lévy die eerste waarskynlikheidsboek wat idees uit die meetteorie gebruik. [249]

In die 1920's het wiskundiges soos Sergei Bernstein , Aleksandr Khinchin , [g] en Andrei Kolmogorov fundamentele bydraes tot die waarskynlikheidsteorie gelewer . [252] Kolmogorov publiseer in 1929 sy eerste poging om 'n wiskundige grondslag aan te bied, gebaseer op meetteorie, vir waarskynlikheidsteorie. [258] In die vroeë dertigerjare het Khinchin en Kolmogorov waarskynlikheidseminare opgestel wat deur navorsers soos Eugene Slutsky en Nikolai Smirnov bygewoon is . [259] en Khinchin het die eerste wiskundige definisie van 'n stogastiese proses gegee as 'n stel ewekansige veranderlikes geïndekseer deur die regte lyn. [64] [260] [u]

Geboorte van moderne waarskynlikheidsteorie

In 1933 publiseer Andrei Kolmogorov in Duits, sy boek oor die grondslae van die waarskynlikheidsteorie met die titel Grundbegriffe der Wahrscheinlechlichkeitsrechnung , [i] waar Kolmogorov maatteorie gebruik het om 'n aksiomatiese raamwerk vir waarskynlikheidsteorie te ontwikkel. Die publikasie van hierdie boek word nou algemeen beskou as die geboorte van moderne waarskynlikheidsteorie, toe die teorieë oor waarskynlikheid en stogastiese prosesse deel van die wiskunde geword het. [249] [252]

Na die publikasie van Kolmogorov se boek is verdere fundamentele werk aan waarskynlikheidsteorie en stogastiese prosesse gedoen deur Khinchin en Kolmogorov, asook ander wiskundiges soos Joseph Doob , William Feller , Maurice Fréchet , Paul Lévy , Wolfgang Doeblin en Harald Cramér . [249] [252] Dekades later het Cramér na die dertigerjare verwys as die 'heroïese periode van wiskundige waarskynlikheidsteorie'. [252] Die Tweede Wêreldoorlog het die ontwikkeling van die waarskynlikheidsteorie baie onderbreek, wat byvoorbeeld die migrasie van Feller vanaf Swede na die Verenigde State van Amerika [252] en die dood van Doeblin, wat nou as 'n baanbreker in stogastiese prosesse beskou word, veroorsaak het. [262]

Wiskundige Joseph Doob het vroeër aan die teorie van stogastiese prosesse gewerk en fundamentele bydraes gelewer, veral in die teorie van martingale. [263] [261] Sy boek Stochastic Processes word as baie invloedryk beskou op die gebied van waarskynlikheidsteorie. [264]

Stogastiese prosesse na die Tweede Wêreldoorlog

Na die Tweede Wêreldoorlog het die studie van waarskynlikheidsteorie en stogastiese prosesse meer aandag van wiskundiges gekry, met beduidende bydraes gelewer op baie terreine van waarskynlikheid en wiskunde, sowel as die skep van nuwe gebiede. [252] [265] Vanaf die veertigerjare publiseer Kiyosi Itô referate wat die veld van stogastiese calculus ontwikkel , wat stogastiese integrale en stogastiese differensiaalvergelykings behels, gebaseer op die Wiener- of Brown-bewegingsproses. [266]

Vanaf die veertigerjare is daar ook verband gehou tussen stogastiese prosesse, veral martingale, en die wiskundige veld van potensiële teorie , met vroeë idees deur Shizuo Kakutani en later werk van Joseph Doob. [265] Verdere werk, wat as baanbreker beskou word, is in die vyftigerjare deur Gilbert Hunt gedoen om Markov-prosesse en potensiële teorie te verbind, wat 'n beduidende uitwerking op die teorie van Lévy-prosesse gehad het en gelei het tot meer belangstelling in die bestudering van Markov-prosesse met metodes wat deur Itô ontwikkel is. . [22] [267] [268]

In 1953 publiseer Doob sy boek Stogastiese prosesse , wat 'n sterk invloed op die teorie van stogastiese prosesse gehad het en die belangrikheid van maatsteorie na alle waarskynlikheid benadruk. [265] [264] Doob het ook veral die teorie van martingale ontwikkel, met later aansienlike bydraes van Paul-André Meyer . Vroeër is werk gedoen deur Sergei Bernstein , Paul Lévy en Jean Ville , wat laasgenoemde die term martingale vir die stogastiese proses aangeneem het. [269] [270] Metodes uit die teorie van martingale het gewild geword vir die oplossing van verskillende waarskynlikheidsprobleme. Tegnieke en teorie is ontwikkel om Markov-prosesse te bestudeer en toe op martingale toegepas. Omgekeerd is metodes uit die teorie van martingale ingestel om Markov-prosesse te behandel. [265]

Ander waarskynlikheidsvelde is ontwikkel en gebruik om stogastiese prosesse te bestudeer, met een hoofbenadering die teorie van groot afwykings. [265] Die teorie het baie toepassings in onder andere statistiese fisika, en het kernidees wat terugduur tot minstens die dertigerjare. Later in die 1960's en 1970's is fundamentele werk gedoen deur Alexander Wentzell in die Sowjetunie en Monroe D. Donsker en Srinivasa Varadhan in die Verenigde State van Amerika, [271] wat later daartoe sou lei dat Varadhan die Abel-prys vir 2007 gewen het. [272] In die 1990's en 2000's is die teorieë oor Schramm-Loewner-evolusie [273] en rowwe paaie [142] bekendgestel en ontwikkel om stogastiese prosesse en ander wiskundige voorwerpe in die waarskynlikheidsteorie te bestudeer, wat onderskeidelik daartoe gelei het dat Fields-medaljes aan Wendelin toegeken is. Werner [274] in 2008 en aan Martin Hairer in 2014. [275]

Die teorie van stogastiese prosesse bly steeds 'n fokuspunt van navorsing, met jaarlikse internasionale konferensies oor die onderwerp van stogastiese prosesse. [46] [225]

Ontdekkings van spesifieke stogastiese prosesse

Alhoewel Khinchin wiskundige definisies van stogastiese prosesse in die dertigerjare gegee het, is spesifieke stogastiese prosesse [64] [260] reeds in verskillende instellings ontdek, soos die Brownse bewegingsproses en die Poisson-proses. [22] [25] Sommige families van stogastiese prosesse, soos puntprosesse of vernuwingsprosesse, het lang en ingewikkelde geskiedenis wat eeue strek. [276]

Bernoulli-proses

Die Bernoulli-proses, wat kan dien as 'n wiskundige model om 'n bevooroordeelde muntstuk om te gooi, is moontlik die eerste stogastiese proses wat bestudeer is. [82] Die proses is 'n reeks onafhanklike Bernoulli-proewe, [83] wat vernoem is na Jackob Bernoulli wat dit gebruik het om kansspeletjies te bestudeer, insluitend waarskynlikheidsprobleme wat deur Christiaan Huygens voorgestel en bestudeer is. [277] Bernoulli se werk, insluitend die Bernoulli-proses, is in 1713 in sy boek Ars Conjectandi gepubliseer . [278]

Willekeurige wandelings

In 1905 het Karl Pearson die term ewekansige loop geskep terwyl hy 'n probleem voorgestel het wat 'n ewekansige wandeling op die vliegtuig beskryf, wat gemotiveer is deur 'n toepassing in die biologie, maar sulke probleme met ewekansige wandelings is reeds in ander velde bestudeer. Sekere dobbelprobleme wat eeue tevore bestudeer is, kan beskou word as probleme met willekeurige wandelinge. [90] [278] Die probleem wat die Gambler's ruïne genoem word, is byvoorbeeld gebaseer op 'n eenvoudige willekeurige loop, [195] [279] en is 'n voorbeeld van 'n ewekansige wandeling met absorberende versperrings. [242] [280] Pascal, Fermat en Huyens het almal numeriese oplossings vir hierdie probleem gegee sonder om die metodes daarvan uiteen te sit, [281] en dan is meer gedetailleerde oplossings aangebied deur Jakob Bernoulli en Abraham de Moivre . [282]

Vir ewekansige instap -dimensional heelgetal roosters , George Polya gepubliseer in 1919 en 1921 werk, waar hy die waarskynlikheid van 'n simmetriese ewekansige loop terug te keer na 'n vorige posisie in die rooster bestudeer. Pólya het getoon dat 'n simmetriese ewekansige loop, wat ewe veel kans het om in enige rigting in die rooster te vorder, 'n oneindige aantal kere na 'n vorige posisie in die rooster sal terugkeer, met waarskynlikheid een in een en twee dimensies, maar met waarskynlikheid nul in drie of hoër dimensies. [283] [284]

Wiener-proses

Die Wiener-proses of Brown-bewegingsproses het sy oorsprong in verskillende velde, waaronder statistiek, finansies en fisika. [22] In 1880 skryf Thorvald Thiele 'n referaat oor die metode van kleinste vierkante, waar hy die proses gebruik om die foute van 'n model in tydreeksanalise te bestudeer. [285] [286] [287] Die werk word nou beskou as 'n vroeë ontdekking van die statistiese metode wat bekend staan ​​as Kalman-filtering , maar die werk is grotendeels oor die hoof gesien. Daar word geglo dat die idees in die artikel van Thiele te gevorderd was om destyds deur die breër wiskundige en statistiese gemeenskap verstaan ​​te kon word. [287]

Norbert Wiener het die eerste wiskundige bewys gelewer van die bestaan ​​van die Wiener-proses. Hierdie wiskundige voorwerp het voorheen verskyn in die werk van Thorvald Thiele , Louis Bachelier en Albert Einstein . [22]

Die Franse wiskundige Louis Bachelier het 'n Wiener-proses gebruik in sy tesis uit 1900 [288] [289] om prysveranderings op die Paris Bourse , 'n aandelebeurs , [290] te modelleer sonder om die werk van Thiele te ken. [22] Daar word bespiegel dat Bachelier idees geput het uit die ewekansige loopmodel van Jules Regnault , maar Bachelier het hom nie aangehaal nie, [291] en Bachelier se proefskrif word nou beskou as baanbreker op die gebied van finansiële wiskunde. [290] [291]

Daar word algemeen gedink dat Bachelier se werk min aandag gekry het en dekades lank vergete was totdat dit in die vyftigerjare deur die Leonard Savage ontdek is , en toe dit gewilder geword het nadat Bachelier se proefskrif in 1964 in Engels vertaal is. Maar die werk is nooit vergeet in die wiskundige gemeenskap, aangesien Bachelier in 1912 'n boek gepubliseer het waarin hy sy idees uiteensit, [291] wat aangehaal is deur wiskundiges, waaronder Doob, Feller [291] en Kolmogorov. [22] Die boek word steeds aangehaal, maar begin in die 1960's word die oorspronklike proefskrif van Bachelier meer aangehaal as sy boek toe ekonome Bachelier se werk begin noem. [291]

In 1905 publiseer Albert Einstein 'n referaat waarin hy die fisiese waarneming van Brownse beweging of beweging bestudeer om die skynbaar ewekansige bewegings van deeltjies in vloeistowwe te verduidelik deur idees uit die kinetiese teorie van gasse te gebruik . Einstein het 'n differensiaalvergelyking , bekend as 'n diffusievergelyking, afgelei om die waarskynlikheid om 'n deeltjie in 'n sekere ruimte te vind, te beskryf. Kort na Einstein se eerste artikel oor Brownse beweging publiseer Marian Smoluchowski werk waar hy Einstein aanhaal, maar skryf dat hy die ekwivalente resultate onafhanklik met behulp van 'n ander metode verkry het. [292]

Einstein se werk, sowel as eksperimentele resultate wat deur Jean Perrin behaal is , het Norbert Wiener later in die 1920's geïnspireer [293] om 'n soort meetteorie, wat deur Percy Daniell ontwikkel is , te gebruik, en Fourier-analise om die bestaan ​​van die Wiener-proses as 'n wiskundige bewys te lewer. beswaar. [22]

Poisson-proses

Die Poisson-proses is vernoem na Siméon Poisson as gevolg van die definisie van die Poisson-verspreiding , maar Poisson het die proses nooit bestudeer nie. [23] [294] Daar is 'n aantal eise vir vroeë gebruik of ontdekkings van die Poisson-proses. [23] [25] Aan die begin van die 20ste eeu sou die Poisson-proses onafhanklik in verskillende situasies ontstaan. [23] [25] In Swede 1903 publiseer Filip Lundberg 'n proefskrif met werk, wat nou as fundamenteel en baanbrekend beskou word, waar hy voorstel om versekeringseise te modelleer met 'n homogene Poisson-proses. [295] [296]

'N Ander ontdekking het in 1909 in Denemarke plaasgevind toe AK Erlang die Poisson-verspreiding afgelei het toe hy 'n wiskundige model vir die aantal inkomende telefoonoproepe in 'n beperkte tydsinterval ontwikkel het. Erlang was destyds nie bewus van Poisson se vroeëre werk nie en het aangeneem dat die aantal telefoongesprekke wat in elke interval aangekom het, onafhanklik van mekaar was. Hy vind toe die beperkende saak, wat die Poisson-verspreiding effektief hersien as 'n beperking van die binomiale verspreiding. [23]

In 1910 publiseer Ernest Rutherford en Hans Geiger eksperimentele resultate oor die tel van alfadeeltjies. Gemotiveer deur hul werk, het Harry Bateman die telprobleem bestudeer en Poisson-waarskynlikhede afgelei as 'n oplossing vir 'n familie van differensiaalvergelykings, wat gelei het tot die onafhanklike ontdekking van die Poisson-proses. [23] Na hierdie tyd was daar baie studies en toepassings van die Poisson-proses, maar die vroeë geskiedenis daarvan is ingewikkeld, wat verklaar is deur die verskillende toepassings van die proses op talle terreine deur bioloë, ekoloë, ingenieurs en verskillende natuurwetenskaplikes. [23]

Markov prosesse

Markov-prosesse en Markov-kettings is vernoem na Andrey Markov wat Markov-kettings in die vroeë 20ste eeu bestudeer het. [297] Markov wou daarin belangstel om 'n uitbreiding van onafhanklike ewekansige rye te bestudeer. [297] In sy eerste artikel oor Markov-kettings, gepubliseer in 1906, het Markov getoon dat die gemiddelde resultate van die Markov-ketting onder sekere omstandighede sou konvergeer na 'n vaste vektor van waardes, wat 'n swak wet van groot getalle bewys sonder die aanname van onafhanklikheid, [298] [299] [300] [301] wat algemeen beskou is as 'n vereiste vir sulke wiskundige wette. [301] Markov het later Markov-kettings gebruik om die verspreiding van vokale in Eugene Onegin , geskryf deur Alexander Pushkin , te bestudeer en 'n sentrale limietstelling vir sulke kettings te bewys. [298] [299]

In 1912 bestudeer Poincaré Markov-kettings op eindige groepe met die doel om kaartskommeling te bestudeer. Ander vroeë gebruike van Markov-kettings sluit in 'n diffusiemodel, wat in 1907 deur Paul en Tatyana Ehrenfest bekendgestel is , en 'n vertakkingsproses, wat deur Francis Galton en Henry William Watson in 1873 ingestel is, wat die werk van Markov voorafgegaan het. [299] [300] Na die werk van Galton en Watson, is dit later aan die lig gebring dat hul vertakkingsproses ongeveer drie dekades tevore deur Irénée-Jules Bienaymé onafhanklik ontdek en bestudeer is . [302] Vanaf 1928 het Maurice Fréchet belanggestel in Markov-kettings, wat uiteindelik daartoe gelei het dat hy in 1938 'n gedetailleerde studie oor Markov-kettings gepubliseer het. [299] [303]

Andrei Kolmogorov het in 'n referaat van 1931 'n groot deel van die vroeë teorie van deurlopende Markov-prosesse ontwikkel. [252] [258] Kolmogorov is deels geïnspireer deur Louis Bachelier se 1900-werk oor die skommelinge in die aandelemark, sowel as Norbert Wiener se werk oor Einstein se model van die Brown-beweging. [258] [304] Hy het 'n spesifieke stel Markov-prosesse bekend as diffusieprosesse bekendgestel en bestudeer, waar hy 'n stel differensiaalvergelykings afgelei het wat die prosesse beskryf. [258] [305] Onafhanklik van Kolmogorov se werk, het Sydney Chapman in 'n artikel uit 1928 'n vergelyking afgelei, wat nou die Chapman – Kolmogorov-vergelyking genoem word , op 'n minder wiskundig streng manier as Kolmogorov, terwyl hy die Brownse beweging bestudeer het. [306] Die differensiaalvergelykings word nou die Kolmogorov-vergelykings [307] of die Kolmogorov – Chapman-vergelykings genoem. [308] Ander wiskundiges wat 'n belangrike bydrae gelewer het tot die grondslag van Markov-prosesse, sluit in William Feller, wat in die dertigerjare begin het, en daarna Eugene Dynkin, wat in die vyftigerjare begin het. [252]

Lévy prosesse

Lévy-prosesse soos die Wiener-proses en die Poisson-proses (op die regte lyn) is vernoem na Paul Lévy, wat dit in die dertigerjare begin bestudeer het, [225] maar hulle het verbindings met oneindig verdeelbare verspreidings wat teruggaan na die 1920's. [224] In 'n artikel uit 1932 het Kolmogorov 'n kenmerkende funksie afgelei vir ewekansige veranderlikes wat verband hou met Lévy-prosesse. Hierdie resultaat is later in 1934 deur meer algemene omstandighede deur Lévy verkry, en toe gee Khinchin in 1937 onafhanklik 'n alternatiewe vorm vir hierdie kenmerkende funksie. [252] [309] Benewens Lévy, Khinchin en Kolomogrov, vroeë fundamentele bydraes tot die teorie van Lévy-prosesse is gemaak deur Bruno de Finetti en Kiyosi Itô . [224]

In wiskunde is konstruksies van wiskundige voorwerpe nodig, wat ook die geval is vir stogastiese prosesse, om te bewys dat dit wiskundig bestaan. [58] Daar is twee hoofbenaderings vir die konstruering van 'n stogastiese proses. Een benadering behels die oorweging van 'n meetbare funksieruimte, die definiëring van 'n geskikte meetbare kartering van 'n waarskynlikheidsruimte na hierdie meetbare ruimte van funksies, en die afleiding van die ooreenstemmende eindige-dimensionele verdeling. [310]

'N Ander benadering behels die definiëring van 'n versameling willekeurige veranderlikes om spesifieke eindige-dimensionele verspreidings te hê, en gebruik dan Kolmogorov se bestaansstelling [j] om te bewys dat 'n ooreenstemmende stogastiese proses bestaan. [58] [310] Hierdie stelling, wat 'n bestaanstelling is vir maatstawwe op oneindige produkruimtes, [314] sê dat indien enige eindige-dimensionele verdeling aan twee voorwaardes voldoen, bekend as konsekwentheidstoestande , bestaan ​​daar 'n stogastiese proses met daardie eindige -dimensionele verspreidings. [58]

Konstruksie kwessies

By die konstruering van deurlopende stogastiese prosesse ontstaan ​​daar sekere wiskundige probleme as gevolg van die ontelbare indeksstelle wat nie by diskrete tydprosesse voorkom nie. [59] [60] Een probleem is dat dit moontlik is om meer as een stogastiese proses met dieselfde eindige-dimensionele verdelings te hê. Byvoorbeeld, beide die linkerkontinu-modifikasie en die regs-kontinu-modifikasie van 'n Poisson-proses het dieselfde eindige-dimensionele verdeling. [315] Dit beteken dat die verspreiding van die stogastiese proses nie noodwendig die eienskappe van die monsterfunksies van die stogastiese proses uniek spesifiseer nie. [310] [316]

'N Ander probleem is dat funksionele prosesse van voortdurende tyd wat afhanklik is van 'n ontelbare aantal punte van die indeksstel, nie meetbaar is nie, en dat die waarskynlikheid van sekere gebeurtenisse moontlik nie goed gedefinieër word nie. [168] Die supremum van 'n stogastiese proses of ewekansige veld is byvoorbeeld nie noodwendig 'n goed gedefinieerde ewekansige veranderlike nie. [31] [60] Vir 'n deurlopende stogastiese proses, ander eienskappe wat afhang van 'n ontelbare aantal punte van die indeksstel sluit in: [168]

  • 'n voorbeeldfunksie van 'n stogastiese proses is 'n deurlopende funksie van;
  • 'n voorbeeldfunksie van 'n stogastiese proses is 'n begrensde funksie van; en
  • 'n voorbeeldfunksie van 'n stogastiese proses is 'n toenemende funksie van.

Om hierdie twee probleme te oorkom, is verskillende aannames en benaderings moontlik. [70]

Oplossing van konstruksieprobleme

Een benadering om wiskundige konstruksiekwessies van stogastiese prosesse te vermy, soos voorgestel deur Joseph Doob , is om aan te neem dat die stogastiese proses skeibaar is. [317] Skeibaarheid verseker dat oneindige-dimensionele verdelings die eienskappe van steekproeffunksies bepaal deur te vereis dat steekproeffunksies in wese bepaal word deur hul waardes op 'n digte telbare stel punte in die indeksstel. [318] Verder, as 'n stogastiese proses van mekaar geskei kan word, dan is funksies van 'n ontelbare aantal punte van die indeksstel meetbaar en kan hulle waarskynlikhede bestudeer word. [168] [318]

'N Ander benadering is moontlik, wat oorspronklik ontwikkel is deur Anatoliy Skorokhod en Andrei Kolmogorov , [319] vir 'n deurlopende stogastiese proses met enige metrieke ruimte as sy staatsruimte. Vir die konstruksie van so 'n stogastiese proses word aanvaar dat die monsterfunksies van die stogastiese proses tot 'n geskikte funksieruimte behoort, wat gewoonlik die Skorokhod-ruimte is wat bestaan ​​uit alle regs-deurlopende funksies met linkergrense. Hierdie benadering word nou meer gebruik as die aanname vir skeibaarheid, [70] [263], maar so 'n stogastiese proses gebaseer op hierdie benadering sal outomaties van mekaar geskei kan word. [320]

Alhoewel dit minder gebruik word, word die aanname van skeibaarheid meer algemeen beskou omdat elke stogastiese proses 'n skeibare weergawe het. [263] Dit word ook gebruik as dit nie moontlik is om 'n stogastiese proses in 'n Skorokhod-ruimte te konstrueer nie. [173] Skeibaarheid word byvoorbeeld aanvaar by die konstruksie en bestudering van ewekansige velde, waar die versameling ewekansige veranderlikes nou geïndekseer word deur versamelings anders as die werklike lyn soos-dimensionele Euklidiese ruimte. [31] [321]

  1. ^ Die term Brownse beweging kan verwys na die fisiese proses, ook bekend as Brownse beweging , en die stogastiese proses, 'n wiskundige voorwerp, maar om dubbelsinnigheid te vermy, gebruik hierdie artikel die terme Brownse bewegingsproses of Wiener-proses vir laasgenoemde in 'n styl soortgelyk aan , byvoorbeeld, Gikhman en Skorokhod [20] of Rosenblatt. [21]
  2. ^ Die term "skeibaar" kom hier twee keer voor met twee verskillende betekenisse, waar die eerste betekenis vanuit waarskynlikheid en die tweede uit topologie en analise is. Om 'n stogastiese proses te skei (in 'n waarskynlike sin), moet die indeksstel 'n skeibare ruimte wees (in 'n topologiese of analitiese sin), benewens ander toestande. [136]
  3. ^ Die definisie van skeibaarheid vir 'n deurlopende werklike stogastiese proses kan op ander maniere gestel word. [172] [173]
  4. ^ In die konteks van puntprosesse kan die term 'toestandsruimte' die ruimte beteken waarop die puntproses gedefinieer word, soos die reële lyn, [234] [235] wat ooreenstem met die indeks wat in die stogastiese prosesterminologie gestel word.
  5. ^ Ook bekend as James of Jacques Bernoulli. [245]
  6. ^ Daar is opgemerk dat 'n opvallende uitsondering die St Petersburg-skool in Rusland was, waar wiskundiges onder leiding van Chebyshev die waarskynlikheidsteorie bestudeer het. [250]
  7. ^ Die naam Khinchin word ook in Khintchine in (of getranslitereer) Engels geskryf. [64]
  8. ^ Doob, as hy Khinchin aanhaal, gebruik die term 'kansveranderlike', wat vroeër 'n alternatiewe term vir 'ewekansige veranderlike' was. [261]
  9. ^ Later in Engels vertaal en in 1950 gepubliseer as Foundations of the Theory of Probability [249]
  10. ^ Die stelling het ander name, insluitend Kolmogorov se konsekwentheidstelling, [311] Kolmogorov se uitbreidingsstelling [312] of die Daniell – Kolmogorov-stelling. [313]

  1. ^ a b c d e f g h i Joseph L. Doob (1990). Stogastiese prosesse . Wiley. bl. 46, 47.
  2. ^ a b c d LCG Rogers; David Williams (2000). Diffusies, Markov-prosesse en Martingale: Deel 1, fondamente . Cambridge University Press. bl. 1. ISBN 978-1-107-71749-7.
  3. ^ a b c J. Michael Steele (2012). Stogastiese calculus en finansiële toepassings . Springer Science & Business Media. bl. 29. ISBN 978-1-4684-9305-4.
  4. ^ a b c d e Emanuel Parzen (2015). Stogastiese prosesse . Courier Dover-publikasies. pp. 7, 8. ISBN 978-0-486-79688-8.
  5. ^ a b c d e f g h i j k l Iosif Ilyich Gikhman; Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969). Inleiding tot die teorie van ewekansige prosesse . Courier Corporation. bl. 1. ISBN 978-0-486-69387-3.
  6. ^ Paul C. Bressloff (2014). Stogastiese prosesse in selbiologie . Springer. ISBN 978-3-319-08488-6.
  7. ^ NG Van Kampen (2011). Stogastiese prosesse in fisika en chemie . Elsevier. ISBN 978-0-08-047536-3.
  8. ^ Russell Lande; Steinar Engen; Bernt-Erik Sæther (2003). Stogastiese bevolkingsdinamika in ekologie en bewaring . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852525-7.
  9. ^ Carlo Laing; Gabriel J Lord (2010). Stogastiese metodes in neurowetenskap . OUP Oxford. ISBN 978-0-19-923507-0.
  10. ^ Wolfgang Paul; Jörg Baschnagel (2013). Stogastiese prosesse: van fisika tot finansies . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-319-00327-6.
  11. ^ Edward R. Dougherty (1999). Willekeurige prosesse vir beeld- en seinverwerking . SPIE Optiese Ingenieurspers. ISBN 978-0-8194-2513-3.
  12. ^ Dimitri P. Bertsekas (1996). Stogastiese optimale beheer: die diskrete tydgeval . Athena Scientific. ISBN 1-886529-03-5.
  13. ^ Thomas M. Voorblad; Joy A. Thomas (2012). Elemente van Inligtingsteorie . John Wiley & Sons. bl. 71. ISBN 978-1-118-58577-1.
  14. ^ Michael Baron (2015). Waarskynlikheid en statistiek vir rekenaarwetenskaplikes, Tweede uitgawe . CRC Pers. bl. 131. ISBN 978-1-4987-6060-7.
  15. ^ Jonathan Katz; Yehuda Lindell (2007). Inleiding tot moderne kriptografie: beginsels en protokolle . CRC Pers. bl. 26 . ISBN 978-1-58488-586-3.
  16. ^ François Baccelli; Bartlomiej Blaszczyszyn (2009). Stogastiese meetkunde en draadlose netwerke . Now Publishers Inc. ISBN 978-1-60198-264-3.
  17. ^ J. Michael Steele (2001). Stogastiese calculus en finansiële toepassings . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-95016-7.
  18. ^ a b Marek Musiela; Marek Rutkowski (2006). Martingale-metodes in finansiële modellering . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-26653-2.
  19. ^ Steven E. Shreve (2004). Stogastiese calculus vir finansies II: deurlopende modelle . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-40101-0.
  20. ^ Iosif Ilyich Gikhman; Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969). Inleiding tot die teorie van ewekansige prosesse . Courier Corporation. ISBN 978-0-486-69387-3.
  21. ^ Murray Rosenblatt (1962). Willekeurige prosesse . Oxford University Press.
  22. ^ a b c d e f g h i Jarrow, Robert; Protter, Philip (2004). "'N Kort geskiedenis van stogastiese integrasie en wiskundige finansies: die vroeë jare, 1880–1970". 'N Festschrift vir Herman Rubin . Instituut vir Wiskundige Statistiek Lesingsnotas - Monografiereeks. bl. 75–80. CiteSeerX  10.1.1.114.632 . doi : 10.1214 / lnms / 1196285381 . ISBN 978-0-940600-61-4. ISSN  0749-2170 .
  23. ^ a b c d e f g h Stirzaker, David (2000). "Advies aan krimpvarkies, of, konstantes kan wissel". Die Wiskundige Staatskoerant . 84 (500): 197–210. doi : 10.2307 / 3621649 . ISSN  0025-5572 . JSTOR  3621649 . S2CID  125163415 .
  24. ^ Donald L. Snyder; Michael I. Miller (2012). Willekeurige puntprosesse in tyd en ruimte . Springer Science & Business Media. bl. 32. ISBN 978-1-4612-3166-0.
  25. ^ a b c d Guttorp, Peter; Thorarinsdottir, Thordis L. (2012). "Wat het gebeur met diskrete chaos, die Quenouille-proses en die skerp Markov-eiendom? Sommige geskiedenis van stogastiese puntprosesse". Internasionale statistiese oorsig . 80 (2): 253–268. doi : 10.1111 / j.1751-5823.2012.00181.x . ISSN  0306-7734 .
  26. ^ Gusak, Dmytro; Kukush, Alexander; Kulik, Alexey; Mishura, Yuliya ; Pilipenko, Andrey (2010). Teorie van stogastiese prosesse: met toepassings op finansiële wiskunde en risikoteorie . Springer Science & Business Media. bl. 21. ISBN 978-0-387-87862-1.
  27. ^ Valeriy Skorokhod (2005). Basiese beginsels en toepassings van waarskynlikheidsteorie . Springer Science & Business Media. bl. 42. ISBN 978-3-540-26312-8.
  28. ^ a b c d e f Olav Kallenberg (2002). Grondslae van moderne waarskynlikheid . Springer Science & Business Media. bl. 24–25. ISBN 978-0-387-95313-7.
  29. ^ a b c d e f g h i j k l m n o p John Lamperti (1977). Stogastiese prosesse: 'n oorsig van die wiskundige teorie . Springer-Verlag. pp. 1–2. ISBN 978-3-540-90275-1.
  30. ^ a b c d Loïc Chaumont; Marc Yor (2012). Oefeninge in waarskynlikheid: 'n begeleide toer van meetteorie tot willekeurige prosesse, via kondisionering . Cambridge University Press. bl. 175. ISBN 978-1-107-60655-5.
  31. ^ a b c d e f g h Robert J. Adler; Jonathan E. Taylor (2009). Willekeurige velde en meetkunde . Springer Science & Business Media. bl. 7–8. ISBN 978-0-387-48116-6.
  32. ^ Gregory F. Lawler; Vlada Limic (2010). Random Walk: 'n moderne inleiding . Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-48876-1.
  33. ^ David Williams (1991). Waarskynlikheid met Martingales . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-40605-5.
  34. ^ LCG Rogers; David Williams (2000). Diffusies, Markov-prosesse en Martingale: Deel 1, fondamente . Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-71749-7.
  35. ^ David Applebaum (2004). Lévy-prosesse en stogastiese calculus . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83263-2.
  36. ^ Mikhail Lifshits (2012). Lesings oor Gaussiese prosesse . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-24939-6.
  37. ^ Robert J. Adler (2010). Die meetkunde van ewekansige velde . SIAM. ISBN 978-0-89871-693-1.
  38. ^ Samuel Karlin; Howard E. Taylor (2012). 'N Eerste kursus in stogastiese prosesse . Akademiese pers. ISBN 978-0-08-057041-9.
  39. ^ Bruce Hajek (2015). Willekeurige prosesse vir ingenieurs . Cambridge University Press. ISBN 978-1-316-24124-0.
  40. ^ a b G. Latouche; V. Ramaswami (1999). Inleiding tot matriksanalitiese metodes in stogastiese modellering . SIAM. ISBN 978-0-89871-425-8.
  41. ^ DJ Daley; David Vere-Jones (2007). 'N Inleiding tot die teorie van puntprosesse: Deel II: Algemene teorie en struktuur . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-21337-8.
  42. ^ Patrick Billingsley (2008). Waarskynlikheid en maatstaf . Wiley India Pvt. Beperk. ISBN 978-81-265-1771-8.
  43. ^ Pierre Brémaud (2014). Fourier-analise en stogastiese prosesse . Springer. ISBN 978-3-319-09590-5.
  44. ^ Adam Bobrowski (2005). Funksionele analise vir waarskynlikheid en stogastiese prosesse: 'n inleiding . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83166-6.
  45. ^ Applebaum, David (2004). "Lévy-prosesse: Van waarskynlikheid tot finansierings- en kwantumgroepe". Kennisgewings van die AMS . 51 (11): 1336–1347.
  46. ^ a b Jochen Blath; Peter Imkeller; Sylvie Rœlly (2011). Opnames in stogastiese prosesse . Europese Wiskundige Vereniging. ISBN 978-3-03719-072-2.
  47. ^ Michel Talagrand (2014). Bo- en ondergrense vir stogastiese prosesse: moderne metodes en klassieke probleme . Springer Science & Business Media. pp. 4–. ISBN 978-3-642-54075-2.
  48. ^ Paul C. Bressloff (2014). Stogastiese prosesse in selbiologie . Springer. pp. vii – ix. ISBN 978-3-319-08488-6.
  49. ^ a b c d Samuel Karlin; Howard E. Taylor (2012). 'N Eerste kursus in stogastiese prosesse . Akademiese pers. bl. 27. ISBN 978-0-08-057041-9.
  50. ^ a b c d e f g h i j Applebaum, David (2004). "Lévy-prosesse: Van waarskynlikheid tot finansierings- en kwantumgroepe". Kennisgewings van die AMS . 51 (11): 1337.
  51. ^ a b LCG Rogers; David Williams (2000). Diffusies, Markov-prosesse en Martingale: Deel 1, fondamente . Cambridge University Press. pp. 121–124. ISBN 978-1-107-71749-7.
  52. ^ a b c d e f Ionut Florescu (2014). Waarskynlikheid en stogastiese prosesse . John Wiley & Sons. bl. 294, 295. ISBN 978-1-118-59320-2.
  53. ^ a b Samuel Karlin; Howard E. Taylor (2012). 'N Eerste kursus in stogastiese prosesse . Akademiese pers. bl. 26. ISBN 978-0-08-057041-9.
  54. ^ Donald L. Snyder; Michael I. Miller (2012). Willekeurige puntprosesse in tyd en ruimte . Springer Science & Business Media. pp. 24, 25. ISBN 978-1-4612-3166-0.
  55. ^ a b Patrick Billingsley (2008). Waarskynlikheid en maatstaf . Wiley India Pvt. Beperk. bl. 482. ISBN 978-81-265-1771-8.
  56. ^ a b Alexander A. Borovkov (2013). Waarskynlikheidsteorie . Springer Science & Business Media. bl. 527. ISBN 978-1-4471-5201-9.
  57. ^ a b c Pierre Brémaud (2014). Fourier-analise en stogastiese prosesse . Springer. bl. 120. ISBN 978-3-319-09590-5.
  58. ^ a b c d e Jeffrey S Rosenthal (2006). 'N Eerste blik op streng waarskynlikheidsteorie . World Scientific Publishing Co Inc. bl. 177–178. ISBN 978-981-310-165-4.
  59. ^ a b Peter E. Kloeden; Eckhard Platen (2013). Numeriese oplossing van stogastiese differensiaalvergelykings . Springer Science & Business Media. bl. 63. ISBN 978-3-662-12616-5.
  60. ^ a b c Davar Khoshnevisan (2006). Multiparameter-prosesse: 'n inleiding tot ewekansige velde . Springer Science & Business Media. bl. 153–155. ISBN 978-0-387-21631-7.
  61. ^ a b "Stogasties" . Oxford English Dictionary (aanlyn red.). Oxford University Press. (Lidmaatskap of deelnemende instelling vereis.)
  62. ^ OB Sheĭnin (2006). Teorie van waarskynlikheid en statistiek soos geïllustreer in kort dictums . NG Verlag. bl. 5. ISBN 978-3-938417-40-9.
  63. ^ Oscar Sheynin; Heinrich Strecker (2011). Alexandr A. Chuprov: Lewe, werk, korrespondensie . V&R unipress GmbH. bl. 136. ISBN 978-3-89971-812-6.
  64. ^ a b c d Doob, Joseph (1934). "Stogastiese prosesse en statistieke" . Verrigtinge van die National Academy of Sciences van die Verenigde State van Amerika . 20 (6): 376–379. Bibcode : 1934PNAS ... 20..376D . doi : 10.1073 / pnas.20.6.376 . PMC  1076423 . PMID  16587907 .
  65. ^ Khintchine, A. (1934). "Korrelationstheorie der stationeren stochastischen Prozesse". Mathematische Annalen . 109 (1): 604–615. doi : 10.1007 / BF01449156 . ISSN  0025-5831 . S2CID  122842868 .
  66. ^ Kolmogoroff, A. (1931). "Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlechlichkeitsrechnung". Mathematische Annalen . 104 (1): 1. doi : 10.1007 / BF01457949 . ISSN  0025-5831 . S2CID  119439925 .
  67. ^ "Willekeurig" . Oxford English Dictionary (aanlyn red.). Oxford University Press. (Lidmaatskap of deelnemende instelling vereis.)
  68. ^ Bert E. Fristedt; Lawrence F. Gray (2013). 'N Moderne benadering tot waarskynlikheidsteorie . Springer Science & Business Media. bl. 580. ISBN 978-1-4899-2837-5.
  69. ^ a b c d LCG Rogers; David Williams (2000). Diffusies, Markov-prosesse en Martingale: Deel 1, fondamente . Cambridge University Press. pp. 121, 122. ISBN 978-1-107-71749-7.
  70. ^ a b c d e Søren Asmussen (2003). Toegepaste waarskynlikheid en rye . Springer Science & Business Media. bl. 408. ISBN 978-0-387-00211-8.
  71. ^ a b David Stirzaker (2005). Stogastiese prosesse en modelle . Oxford University Press. bl. 45. ISBN 978-0-19-856814-8.
  72. ^ Murray Rosenblatt (1962). Willekeurige prosesse . Oxford University Press. bl. 91 .
  73. ^ John A. Gubner (2006). Waarskynlikheid en ewekansige prosesse vir elektriese en rekenaaringenieurs . Cambridge University Press. bl. 383. ISBN 978-1-139-45717-0.
  74. ^ a b Kiyosi Itō (2006). Basis van stogastiese prosesse . Amerikaanse Wiskundige Soc. bl. 13. ISBN 978-0-8218-3898-3.
  75. ^ M. Loève (1978). Waarskynlikheidsteorie II . Springer Science & Business Media. bl. 163. ISBN 978-0-387-90262-3.
  76. ^ Pierre Brémaud (2014). Fourier-analise en stogastiese prosesse . Springer. bl. 133. ISBN 978-3-319-09590-5.
  77. ^ a b Gusak et al. (2010) , p. 1
  78. ^ Richard F. Bass (2011). Stogastiese prosesse . Cambridge University Press. bl. 1. ISBN 978-1-139-50147-7.
  79. ^ a b , John Lamperti (1977). Stogastiese prosesse: 'n oorsig van die wiskundige teorie . Springer-Verlag. bl. 3. ISBN 978-3-540-90275-1.
  80. ^ Fima C. Klebaner (2005). Inleiding tot stogastiese calculus met toepassings . Imperial College Press. bl. 55. ISBN 978-1-86094-555-7.
  81. ^ a b Ionut Florescu (2014). Waarskynlikheid en stogastiese prosesse . John Wiley & Sons. bl. 293. ISBN 978-1-118-59320-2.
  82. ^ a b Florescu, Ionut (2014). Waarskynlikheid en stogastiese prosesse . John Wiley & Sons. bl. 301. ISBN 978-1-118-59320-2.
  83. ^ a b Bertsekas, Dimitri P .; Tsitsiklis, John N. (2002). Inleiding tot waarskynlikheid . Athena Scientific. bl. 273. ISBN 978-1-886529-40-3.
  84. ^ Ibe, Oliver C. (2013). Elemente van ewekansige loop- en diffusieprosesse . John Wiley & Sons. bl. 11. ISBN 978-1-118-61793-9.
  85. ^ Achim Klenke (2013). Waarskynlikheidsteorie: 'n omvattende kursus . Springer. bl. 347. ISBN 978-1-4471-5362-7.
  86. ^ Gregory F. Lawler; Vlada Limic (2010). Random Walk: 'n moderne inleiding . Cambridge University Press. bl. 1. ISBN 978-1-139-48876-1.
  87. ^ Olav Kallenberg (2002). Grondslae van moderne waarskynlikheid . Springer Science & Business Media. bl. 136. ISBN 978-0-387-95313-7.
  88. ^ Ionut Florescu (2014). Waarskynlikheid en stogastiese prosesse . John Wiley & Sons. bl. 383. ISBN 978-1-118-59320-2.
  89. ^ Rick Durrett (2010). Waarskynlikheid: Teorie en voorbeelde . Cambridge University Press. bl. 277. ISBN 978-1-139-49113-6.
  90. ^ a b c Weiss, George H. (2006). "Random Walks". Ensiklopedie vir Statistiese Wetenskappe . bl. 1. doi : 10.1002 / 0471667196.ess2180.pub2 . ISBN 978-0471667193.
  91. ^ Aris Spanos (1999). Waarskynlikheidsteorie en statistiese afleiding: ekonometriese modellering met waarnemingsdata . Cambridge University Press. bl. 454. ISBN 978-0-521-42408-0.
  92. ^ a b Fima C. Klebaner (2005). Inleiding tot stogastiese calculus met toepassings . Imperial College Press. bl. 81. ISBN 978-1-86094-555-7.
  93. ^ Allan Gut (2012). Waarskynlikheid: 'n nagraadse kursus . Springer Science & Business Media. bl. 88. ISBN 978-1-4614-4708-5.
  94. ^ Geoffrey Grimmett; David Stirzaker (2001). Waarskynlikheid en ewekansige prosesse . OUP Oxford. bl. 71. ISBN 978-0-19-857222-0.
  95. ^ Fima C. Klebaner (2005). Inleiding tot stogastiese calculus met toepassings . Imperial College Press. bl. 56. ISBN 978-1-86094-555-7.
  96. ^ Brush, Stephen G. (1968). "'N Geskiedenis van ewekansige prosesse". Argief vir Geskiedenis van Presiese Wetenskappe . 5 (1): 1–2. doi : 10.1007 / BF00328110 . ISSN  0003-9519 . S2CID  117623580 .
  97. ^ Applebaum, David (2004). "Lévy-prosesse: Van waarskynlikheid tot finansierings- en kwantumgroepe". Kennisgewings van die AMS . 51 (11): 1338.
  98. ^ Iosif Ilyich Gikhman; Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969). Inleiding tot die teorie van ewekansige prosesse . Courier Corporation. bl. 21. ISBN 978-0-486-69387-3.
  99. ^ Ionut Florescu (2014). Waarskynlikheid en stogastiese prosesse . John Wiley & Sons. bl. 471. ISBN 978-1-118-59320-2.
  100. ^ a b Samuel Karlin; Howard E. Taylor (2012). 'N Eerste kursus in stogastiese prosesse . Akademiese pers. pp. 21, 22. ISBN 978-0-08-057041-9.
  101. ^ Ioannis Karatzas; Steven Shreve (1991). Brownse beweging en stogastiese calculus . Springer. bl. VIII. ISBN 978-1-4612-0949-2.
  102. ^ Daniel Revuz ; Marc Yor (2013). Deurlopende Martingale en Brown-beweging . Springer Science & Business Media. bl. IX. ISBN 978-3-662-06400-9.
  103. ^ Jeffrey S Rosenthal (2006). 'N Eerste blik op streng waarskynlikheidsteorie . World Scientific Publishing Co Inc. bl. 186. ISBN 978-981-310-165-4.
  104. ^ Donald L. Snyder; Michael I. Miller (2012). Willekeurige puntprosesse in tyd en ruimte . Springer Science & Business Media. bl. 33. ISBN 978-1-4612-3166-0.
  105. ^ J. Michael Steele (2012). Stogastiese calculus en finansiële toepassings . Springer Science & Business Media. bl. 118. ISBN 978-1-4684-9305-4.
  106. ^ a b Peter Mörters; Yuval Peres (2010). Brownse beweging . Cambridge University Press. pp. 1, 3. ISBN 978-1-139-48657-6.
  107. ^ Ioannis Karatzas; Steven Shreve (1991). Brownse beweging en stogastiese calculus . Springer. bl. 78. ISBN 978-1-4612-0949-2.
  108. ^ Ioannis Karatzas; Steven Shreve (1991). Brownse beweging en stogastiese calculus . Springer. bl. 61. ISBN 978-1-4612-0949-2.
  109. ^ Steven E. Shreve (2004). Stogastiese calculus vir finansies II: deurlopende modelle . Springer Science & Business Media. bl. 93. ISBN 978-0-387-40101-0.
  110. ^ Olav Kallenberg (2002). Grondslae van moderne waarskynlikheid . Springer Science & Business Media. pp 225, 260. ISBN 978-0-387-95313-7.
  111. ^ Ioannis Karatzas; Steven Shreve (1991). Brownse beweging en stogastiese calculus . Springer. bl. 70. ISBN 978-1-4612-0949-2.
  112. ^ Peter Mörters; Yuval Peres (2010). Brownse beweging . Cambridge University Press. bl. 131. ISBN 978-1-139-48657-6.
  113. ^ Fima C. Klebaner (2005). Inleiding tot stogastiese calculus met toepassings . Imperial College Press. ISBN 978-1-86094-555-7.
  114. ^ Ioannis Karatzas; Steven Shreve (1991). Brownse beweging en stogastiese calculus . Springer. ISBN 978-1-4612-0949-2.
  115. ^ Applebaum, David (2004). "Lévy-prosesse: Van waarskynlikheid tot finansierings- en kwantumgroepe". Kennisgewings van die AMS . 51 (11): 1341.
  116. ^ Samuel Karlin; Howard E. Taylor (2012). 'N Eerste kursus in stogastiese prosesse . Akademiese pers. bl. 340. ISBN 978-0-08-057041-9.
  117. ^ Fima C. Klebaner (2005). Inleiding tot stogastiese calculus met toepassings . Imperial College Press. bl. 124. ISBN 978-1-86094-555-7.
  118. ^ Ioannis Karatzas; Steven Shreve (1991). Brownse beweging en stogastiese calculus . Springer. bl. 47. ISBN 978-1-4612-0949-2.
  119. ^ Ubbo F. Wiersema (2008). Brownse bewegingsrekening . John Wiley & Sons. bl. 2. ISBN 978-0-470-02171-2.
  120. ^ a b c Henk C. Tijms (2003). 'N Eerste kursus in stogastiese modelle . Wiley. pp. 1, 2. ISBN 978-0-471-49881-0.
  121. ^ DJ Daley; D. Vere-Jones (2006). 'N Inleiding tot die teorie van puntprosesse: Deel I: elementêre teorie en metodes . Springer Science & Business Media. bl. 19–36. ISBN 978-0-387-21564-8.
  122. ^ Mark A. Pinsky; Samuel Karlin (2011). 'N Inleiding tot stogastiese modellering . Akademiese pers. bl. 241. ISBN 978-0-12-381416-6.
  123. ^ JFC Kingman (1992). Poisson-prosesse . Clarendon Press. bl. 38. ISBN 978-0-19-159124-2.
  124. ^ DJ Daley; D. Vere-Jones (2006). 'N Inleiding tot die teorie van puntprosesse: Deel I: elementêre teorie en metodes . Springer Science & Business Media. bl. 19. ISBN 978-0-387-21564-8.
  125. ^ JFC Kingman (1992). Poisson-prosesse . Clarendon Press. bl. 22. ISBN 978-0-19-159124-2.
  126. ^ Samuel Karlin; Howard E. Taylor (2012). 'N Eerste kursus in stogastiese prosesse . Akademiese pers. pp. 118, 119. ISBN 978-0-08-057041-9.
  127. ^ Leonard Kleinrock (1976). Toue-stelsels: teorie . Wiley. bl. 61 . ISBN 978-0-471-49110-1.
  128. ^ Murray Rosenblatt (1962). Willekeurige prosesse . Oxford University Press. bl. 94 .
  129. ^ a b Martin Haenggi (2013). Stogastiese meetkunde vir draadlose netwerke . Cambridge University Press. pp. 10, 18. ISBN 978-1-107-01469-5.
  130. ^ a b Sung Nok Chiu; Dietrich Stoyan; Wilfrid S. Kendall; Joseph Mecke (2013). Stogastiese meetkunde en die toepassings daarvan . John Wiley & Sons. pp. 41, 108. ISBN 978-1-118-65825-3.
  131. ^ JFC Kingman (1992). Poisson-prosesse . Clarendon Press. bl. 11. ISBN 978-0-19-159124-2.
  132. ^ a b Roy L. Streit (2010). Poisson-puntprosesse: beeldvorming, dop en waarneming . Springer Science & Business Media. bl. 1. ISBN 978-1-4419-6923-1.
  133. ^ JFC Kingman (1992). Poisson-prosesse . Clarendon Press. bl. v. ISBN 978-0-19-159124-2.
  134. ^ a b Alexander A. Borovkov (2013). Waarskynlikheidsteorie . Springer Science & Business Media. bl. 528. ISBN 978-1-4471-5201-9.
  135. ^ Georg Lindgren; Holger Rootzen; Maria Sandsten (2013). Stationêre stogastiese prosesse vir wetenskaplikes en ingenieurs . CRC Pers. bl. 11. ISBN 978-1-4665-8618-5.
  136. ^ a b c Valeriy Skorokhod (2005). Basiese beginsels en toepassings van waarskynlikheidsteorie . Springer Science & Business Media. pp. 93, 94. ISBN 978-3-540-26312-8.
  137. ^ Donald L. Snyder; Michael I. Miller (2012). Willekeurige puntprosesse in tyd en ruimte . Springer Science & Business Media. bl. 25. ISBN 978-1-4612-3166-0.
  138. ^ Valeriy Skorokhod (2005). Basiese beginsels en toepassings van waarskynlikheidsteorie . Springer Science & Business Media. bl. 104. ISBN 978-3-540-26312-8.
  139. ^ Ionut Florescu (2014). Waarskynlikheid en stogastiese prosesse . John Wiley & Sons. bl. 296. ISBN 978-1-118-59320-2.
  140. ^ Patrick Billingsley (2008). Waarskynlikheid en maatstaf . Wiley India Pvt. Beperk. bl. 493. ISBN 978-81-265-1771-8.
  141. ^ Bernt Øksendal (2003). Stogastiese differensiaalvergelykings: 'n inleiding met toepassings . Springer Science & Business Media. bl. 10. ISBN 978-3-540-04758-2.
  142. ^ a b c d e Peter K. Friz; Nicolas B. Victoir (2010). Multidimensionele stogastiese prosesse as rowwe weë: teorie en toepassings . Cambridge University Press. bl. 571. ISBN 978-1-139-48721-4.
  143. ^ Sidney I. Resnick (2013). Avonture in stogastiese prosesse . Springer Science & Business Media. bl. 40–41. ISBN 978-1-4612-0387-2.
  144. ^ Ward Whitt (2006). Limiete vir stogastiese prosesse: 'n inleiding tot limiete vir stogastiese prosesse en die toepassing daarvan op rye . Springer Science & Business Media. bl. 23. ISBN 978-0-387-21748-2.
  145. ^ David Applebaum (2004). Lévy-prosesse en stogastiese calculus . Cambridge University Press. bl. 4. ISBN 978-0-521-83263-2.
  146. ^ Daniel Revuz; Marc Yor (2013). Deurlopende Martingale en Brown-beweging . Springer Science & Business Media. bl. 10. ISBN 978-3-662-06400-9.
  147. ^ LCG Rogers; David Williams (2000). Diffusies, Markov-prosesse en Martingale: Deel 1, fondamente . Cambridge University Press. bl. 123. ISBN 978-1-107-71749-7.
  148. ^ a b c d John Lamperti (1977). Stogastiese prosesse: 'n oorsig van die wiskundige teorie . Springer-Verlag. pp. 6 en 7. ISBN 978-3-540-90275-1.
  149. ^ Iosif I. Gikhman; Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969). Inleiding tot die teorie van ewekansige prosesse . Courier Corporation. bl. 4. ISBN 978-0-486-69387-3.
  150. ^ a b c d Robert J. Adler (2010). Die meetkunde van ewekansige velde . SIAM. pp. 14, 15. ISBN 978-0-89871-693-1.
  151. ^ Sung Nok Chiu; Dietrich Stoyan; Wilfrid S. Kendall; Joseph Mecke (2013). Stogastiese meetkunde en die toepassings daarvan . John Wiley & Sons. bl. 112. ISBN 978-1-118-65825-3.
  152. ^ a b Joseph L. Doob (1990). Stogastiese prosesse . Wiley. bl. 94–96.
  153. ^ a b Ionut Florescu (2014). Waarskynlikheid en stogastiese prosesse . John Wiley & Sons. pp. 298, 299. ISBN 978-1-118-59320-2.
  154. ^ Iosif Ilyich Gikhman; Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969). Inleiding tot die teorie van ewekansige prosesse . Courier Corporation. bl. 8. ISBN 978-0-486-69387-3.
  155. ^ a b c David Williams (1991). Waarskynlikheid met Martingales . Cambridge University Press. pp. 93, 94. ISBN 978-0-521-40605-5.
  156. ^ Fima C. Klebaner (2005). Inleiding tot stogastiese calculus met toepassings . Imperial College Press. bl. 22–23. ISBN 978-1-86094-555-7.
  157. ^ Peter Mörters; Yuval Peres (2010). Brownse beweging . Cambridge University Press. bl. 37. ISBN 978-1-139-48657-6.
  158. ^ a b LCG Rogers; David Williams (2000). Diffusies, Markov-prosesse en Martingale: Deel 1, fondamente . Cambridge University Press. bl. 130. ISBN 978-1-107-71749-7.
  159. ^ Alexander A. Borovkov (2013). Waarskynlikheidsteorie . Springer Science & Business Media. bl. 530. ISBN 978-1-4471-5201-9.
  160. ^ Fima C. Klebaner (2005). Inleiding tot stogastiese calculus met toepassings . Imperial College Press. bl. 48. ISBN 978-1-86094-555-7.
  161. ^ a b Bernt Øksendal (2003). Stogastiese differensiaalvergelykings: 'n inleiding met toepassings . Springer Science & Business Media. bl. 14. ISBN 978-3-540-04758-2.
  162. ^ a b Ionut Florescu (2014). Waarskynlikheid en stogastiese prosesse . John Wiley & Sons. bl. 472. ISBN 978-1-118-59320-2.
  163. ^ Daniel Revuz; Marc Yor (2013). Deurlopende Martingale en Brown-beweging . Springer Science & Business Media. bl. 18–19. ISBN 978-3-662-06400-9.
  164. ^ David Applebaum (2004). Lévy-prosesse en stogastiese calculus . Cambridge University Press. bl. 20. ISBN 978-0-521-83263-2.
  165. ^ Hiroshi Kunita (1997). Stogastiese strome en stogastiese differensiaalvergelykings . Cambridge University Press. bl. 31. ISBN 978-0-521-59925-2.
  166. ^ Olav Kallenberg (2002). Grondslae van moderne waarskynlikheid . Springer Science & Business Media. bl. 35. ISBN 978-0-387-95313-7.
  167. ^ Monique Jeanblanc ; Marc Yor ; Marc Chesney (2009). Wiskundige metodes vir finansiële markte . Springer Science & Business Media. bl. 11. ISBN 978-1-85233-376-8.
  168. ^ a b c d e f Kiyosi Itō (2006). Basis van stogastiese prosesse . Amerikaanse Wiskundige Soc. bl. 32–33. ISBN 978-0-8218-3898-3.
  169. ^ Iosif Ilyich Gikhman; Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969). Inleiding tot die teorie van ewekansige prosesse . Courier Corporation. bl. 150. ISBN 978-0-486-69387-3.
  170. ^ a b Petar Todorovic (2012). 'N Inleiding tot stogastiese prosesse en hul toepassings . Springer Science & Business Media. bl. 19–20. ISBN 978-1-4613-9742-7.
  171. ^ Ilya Molchanov (2005). Teorie van ewekansige stelle . Springer Science & Business Media. bl. 340. ISBN 978-1-85233-892-3.
  172. ^ a b Patrick Billingsley (2008). Waarskynlikheid en maatstaf . Wiley India Pvt. Beperk. pp. 526–527. ISBN 978-81-265-1771-8.
  173. ^ a b Alexander A. Borovkov (2013). Waarskynlikheidsteorie . Springer Science & Business Media. bl. 535. ISBN 978-1-4471-5201-9.
  174. ^ Gusak et al. (2010) , p. 22
  175. ^ Joseph L. Doob (1990). Stogastiese prosesse . Wiley. bl. 56.
  176. ^ Davar Khoshnevisan (2006). Multiparameter-prosesse: 'n inleiding tot ewekansige velde . Springer Science & Business Media. bl. 155. ISBN 978-0-387-21631-7.
  177. ^ Lapidoth, Amos, ' n stigting in digitale kommunikasie , Cambridge University Press, 2009.
  178. ^ a b c Kun Il Park, Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3
  179. ^ a b c d Ward Whitt (2006). Limiete vir stogastiese prosesse: 'n inleiding tot limiete vir stogastiese prosesse en die toepassing daarvan op rye . Springer Science & Business Media. bl. 78–79. ISBN 978-0-387-21748-2.
  180. ^ a b Gusak et al. (2010) , p. 24
  181. ^ a b c d Vladimir I. Bogachev (2007). Meetteorie (Deel 2) . Springer Science & Business Media. bl. 53. ISBN 978-3-540-34514-5.
  182. ^ a b c Fima C. Klebaner (2005). Inleiding tot stogastiese calculus met toepassings . Imperial College Press. bl. 4. ISBN 978-1-86094-555-7.
  183. ^ a b Søren Asmussen (2003). Toegepaste waarskynlikheid en rye . Springer Science & Business Media. bl. 420. ISBN 978-0-387-00211-8.
  184. ^ a b c Patrick Billingsley (2013). Konvergensie van waarskynlikheidsmaatreëls . John Wiley & Sons. bl. 121. ISBN 978-1-118-62596-5.
  185. ^ Richard F. Bass (2011). Stogastiese prosesse . Cambridge University Press. bl. 34. ISBN 978-1-139-50147-7.
  186. ^ Nicholas H. Bingham; Rüdiger Kiesel (2013). Risiko-neutrale waardasie: pryse en verskansing van finansiële afgeleides . Springer Science & Business Media. bl. 154. ISBN 978-1-4471-3856-3.
  187. ^ Alexander A. Borovkov (2013). Waarskynlikheidsteorie . Springer Science & Business Media. bl. 532. ISBN 978-1-4471-5201-9.
  188. ^ Davar Khoshnevisan (2006). Multiparameter-prosesse: 'n inleiding tot ewekansige velde . Springer Science & Business Media. pp. 148–165. ISBN 978-0-387-21631-7.
  189. ^ Petar Todorovic (2012). 'N Inleiding tot stogastiese prosesse en hul toepassings . Springer Science & Business Media. bl. 22. ISBN 978-1-4613-9742-7.
  190. ^ Ward Whitt (2006). Limiete vir stogastiese prosesse: 'n inleiding tot limiete vir stogastiese prosesse en die toepassing daarvan op rye . Springer Science & Business Media. bl. 79. ISBN 978-0-387-21748-2.
  191. ^ Richard Serfozo (2009). Basiese beginsels van toegepaste stogastiese prosesse . Springer Science & Business Media. bl. 2. ISBN 978-3-540-89332-5.
  192. ^ YA Rozanov (2012). Markov Random Fields . Springer Science & Business Media. bl. 58. ISBN 978-1-4613-8190-7.
  193. ^ Sheldon M. Ross (1996). Stogastiese prosesse . Wiley. pp 235, 358. ISBN 978-0-471-12062-9.
  194. ^ Ionut Florescu (2014). Waarskynlikheid en stogastiese prosesse . John Wiley & Sons. bl 373, 374. ISBN 978-1-118-59320-2.
  195. ^ a b Samuel Karlin; Howard E. Taylor (2012). 'N Eerste kursus in stogastiese prosesse . Akademiese pers. bl. 49.